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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Indicatori per l'analisi dei dati


Una volta raccolti i dati e rappresentati gli stessi attraverso tabelle e grafici di vario genere è importante anche analizzarli dal punto di vista matematico per ricavarne alcuni indicatoriche ci permettano una visione più sintetica ma adeguatamente rappresentativa della ricerca effettuata; questi valori ci permetteranno di effettuare più semplicemente e rapidamente confronti tra ricerche uguali ma effettuate in tempi e luoghi differenti.
Vediamo questi indicatori separatamente.

Media aritmetica

Si definisce media aritmetica di n valori, quel valore M che sostituito a tutti i valori stessi lascia invariata la somma; essa si calcola come il rapporto tra la somma dei valori a disposizione fratto il numero totale dei valori$$M=\frac{x_1+x_2+x_3+.....x_n}{n}$$

esempio

Consideriamo la tabella dove sono indicati i voti ottenuti dagli alunni all'ultimo compito di matematica.

alunnovotoalunnovoto
18116
26126,5
34138
48145
56157,5
65166,5
75178
88187,5
97,5195
104206
Calcoliamo la media di questi valori e quindi dividiamo la somma di tutti i venti voti riportati dagli alunni fratto il numero totale dei voti che come detto è 20.$$M=\frac{somma voti}{20}=\frac{127,5}{20}=6,375$$Cioè in media la classe ha ottenuto una votazione più che sufficiente.

In alcuni casi invece di avere tutti i valori scritti singolarmente, li troviamo in una tabella dove sono rappresentati solo i valori diversi e poi per ognuno è indicata la frequenza assoluta o relativa.
Per calcolare la media aritmetica dobbiamo sommare tutti i valori ottenuti quindi per ogni valore diverso ne dobbiamo considerare un numero pari alla sua frequenza assoluta; detta \( f_i \) la frequenza del valore i-esimo avremo una formula per la media del tipo$$M=\frac{x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+........+x_n\cdot f_n}{n}$$dove n è pari al numero totale delle frequenze assolute. Questa formula è detta media aritmetica ponderata
Un altro metodo per il calcolo della media è quello che prevede l'utilizzo delle frequenze relative; in questo caso la formula diviene $$M=x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+........+x_n\cdot f_n$$dove \( f_i \) rappresenta la frequenza relativa. Le due formule sono uguali infatti la frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta ed il numero totale dei dati e quindi ogni addendo della formula è una frazione con denominatore n quindi facendo il minimo comune multiplo otteniamo proprio la formula precedente.

esempio

Riscriviamo i dati dell'esempio precedente in una tabella dove si tenga conto della frequenza assoluta e relativa di ogni valore

votofrequenza
assoluta
frequenza
relativa
420,1
540,2
640,2
6,520,1
7,530,15
850,25
Possiamo adesso calcolare la media sia sfruttando le frequenze relative che quelle assolute; facciamolo con entrambe le formule per osservare che conducono allo stesso risultato della media aritmetica tradizionale quando si hanno tutti i valori.
con le frequenze assolute $$M=\frac{4\cdot 2+5\cdot4+6\cdot 4+6,5\cdot2+7,5\cdot3+8\cdot5}{20}=\frac{127,5}{20}=6,375$$ con le frequenze relative $$M=4\cdot0,1+5\cdot0,2+6\cdot0,2+6,5\cdot0,1+7,5\cdot0,15+8\cdot0,25=6,375$$

Mediana

La mediana rappresenta una media posizionale dei dati; essa si ottiene ordinando i dati in una sequenza di valori non decrescenti ed estraendo quel valore che divide la sequenza in due sequenze più piccole e costituite da uno stesso numero di elementi. Nel caso in cui il numero di elementi della sequenza è dispari, la mediana sarà proprio il valore constatato che si trova al centro della sequenza ordinata; diversamente se il numero di elementi e pari, la mediana sarà la media aritmetica dei due valori centrali della sequenza stessa.

esempio

Supponiamo di aver chiesto l'età a 10 passanti occasionali che si trovavano a transitare per una piazza di Milano e che essi ci abbiano fornito i seguenti dati.

passanteetàpassanteetà
171623
216723
335818
452955
5181040

Scriviamo i valori dell'età in una sequenza ordinata in modo crescente e poiché gli elementi della sequenza sono in numero pari, per il calcolo della mediana dobbiamo considerare i due valori centrali di questa sequenza per farne la media aritmetica. In questo caso si ha:
16 , 18 , 18 , 23 , 23 , 35 , 40 , 52 , 55, 71
e la mediana vale \( mediana=\frac{23+35}{2}=29 \).

N.B. nel caso in cui i dati sono riportati in una tabella con le frequenze assolute, bisogna considerare che nella sequenza ogni valore si ripete tante vole quanto vale la frequenza assoluta ad esso relativa e quindi possiamo sommare le frequenze per ottenere il numero totale dei dati per poi dividerlo per 2; se il resto è zero si effettua la media aritmetica tra il valore con posto uguale al quoziente ed il successivo mentre se il resto è diverso da zero si considera come mediana il valore che si trova nella posizione successiva a quella uguale al quoziente della divisione.

Moda

La moda è un indicatore che dipende semplicemente dall'osservazione dei dati senza bisogno di essere calcolato. Data una distribuzione di frequenze, si definisce moda il valore che nella distribuzione ha la frequenza più alta.

Varianza e scarti

Data una distribuzione di valori si definisce campo di variazione la differenza tra il valore registrato più grande e quello più piccolo; è cioè un intervallo all'interno del quale sono inclusi tutti i dati raccilti.

Due distribuzioni che hanno la stessa media e lo stesso campo di variazione possono avere significati anche molto diversi infatti possono avere una differente dispersione; cioè una diversa distanza media dei dati dal valore medio. Supponendo di misurare col cronometro il tempo impiegato per percorrere 100 metri in moto ripetendo più volte la misurazione in due giorni diversi; supponiamo di ottenere le due differenti distribuzioni che abbiano la stessa media e lo stesso campo di variazione. La prima distribuzione presenta magari una dispersione dei dati maggiore cioè i dati sono lontani dal dato medio mentre la seconda presenta solo i due estremi lontani dalla media mentre gli altri sono tutti vicini alla stessa. Certamente considereremo la seconda ricerca più affidabile perché non solo ci restituisce un valore medio ma la maggior parte delle misurazioni è vicino ad esso mentre per la prima, la media ha una affidabilità relativamente più bassa conservando solo un interesse matematico.
Per misurare questa dispersione si potrebbe considerare di valutare lo scarto di ogni valore dal valore medio e poi sommarli tutti e dividerli per il numero totale dei dati; purtroppo una operazione del genere, se la media è una media aritmetica, conduce al nulla di fatto risultando sempre zero poiché vi saranno termini positivi e termini negativi che alla fine si annulleranno.

Una possibilità per eliminare questo inconveniente è quella di considerare il valore assoluto di ogni differenza tra media e valore singolo; in questo modo si ottiene lo scarto medio assoluto.

Data una distribuzione di dati \( x_1 , ..... , x_n \) di cui la media sia il valore M, si definisce scarto medio assoluto la media aritmetica dei valori assoluti delle differenze tra il valore medio della distribuzione ed ogni singolo valore$$S=\frac{|M-x_1|+|M-x_2|+....+|M-x_n|}{n}=\frac{\sum_{1}^{n}|M-x_i|}{n}$$.

Nella formula precedente il simbolo \( \sum_{1}^{n}|M-x_i| \) si legge sommatoria con i che va da 1 ad n della differenza \( M-x_i \) presa in valore assoluto, quindi rappresenta semplicemente una somma di elementi che cambiano al variare dell'indice i da 1 ad n.

Un altro metodo per misurare lo scarto medio è misurare quella che viene definita varianza della distribuzione

Data una distribuzione di valori x_1, ...., x_n di cui la media è rappresentata dal valore M, definiamo varianza, e la indichiamo con \( \sigma^2 \) la media aritmetica dei quadrati delle differenze tra il valore medio della distribuzione ed ogni singolo valore$$\sigma^2=\frac{(M-x_1)^2+.....+(M-x_n)^2}{n}=\frac{\sum_{1}^{n}(M-x_i)^2}{n}$$ Questo valore non è molto usato perché nel caso la nostra ricerca fosse di tipo quantitativo ed i valori fossero espressi secondo una data unità di misura, la varianza, calcolandosi come media dei quadrati della differenza tra valori espressi nella stessa unità, avrebbe come unità di misura il quadrato di quella dei dati e quindi non è direttamente rapportabile con gli stessi. Viene per questo introdotto un altro indicatore che rappresenta la radice della varianza; essa avrà la stessa unità di misura dei dati e quindi sarà rapportabile con essi.

Data una distribuzione di dati \( x_1, ..... , x_n \) con M valore medio della distribuzione, definiamo scarto quadratico medio, e lo indichiamo con la lettera \( \sigma \) (sigma), la radice quadrata della varianza della distribuzione$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{1}^{n}(M-x_i)^2}{n}}$$Essa è anche chiamata deviazione standard.



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