Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Teorema della probabilità composta


Consideriamo ancora una volta la scatola contenente le palline numerate e supponiamo adesso di voler calcolare quale è la probabilità di ottenere una pallina col numero pari alla seconda estrazione. Distinguiamo i due casi:
- la seconda estrazione viene fatta dopo aver riposto nuovamente la pallina nella scatola; in questo caso le due estrazioni sono dal punto di vista delle probabilità identiche ed i due eventi sono detti eventi indipendenti.

- la seconda estrazione viene fatta senza reinserire la pallina nella scatola; adesso la probabilità di ottenere un numero pari dalla seconda estrazione non è la stessa di prima perché sono cambiati, nella formula per il calcolo della probabilità, sia il numero di eventi possibili e sia il numero di eventi favorevoli . Infatti se alla prima estrazione esce pari nella seconda avremo che il numero di eventi favorevoli è 9 e non più 10 mentre il numero di eventi possibili è 19 non più 20 e quindi la probabilità di avere pari sarà \( P(pari)=\frac{9}{19} \); allo stesso modo se la prima estrazione è stata dispari, il numero di eventi possibili diverrà 19 e quello di eventi favorevoli resterà 20 quindi la probabilità diverrà \( P(pari)=\frac{10}{19} \). Ricordando che la probabilità al primo lancio di ottenere pari era \( P(pari)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2} \) osserviamo che se nel primo lancio otteniamo pari, nel secondo la probabilità di ottenerlo di nuovo scende mentre se nel primo lancio otteniamo dispari la probabilità di avere pari al secondo sale.
In questo caso si dice che l'evento seconda estrazione pari è condizionato dall'evento prima estrazione cioè i due eventi non sono indipendenti.

Due eventi si definiscono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influisce in nessun modo sul verificarsi dell'altro; diversamente parleremo di eventi dipendenti.

Definiamo probabilità condizionata dell'evento \( E_2 \) rispetto all'evento \( E_1 \), e la scriviamo \( P(\frac{E_2}{E_1}) \), la probabilità di verificarsi che ha l'evento \( E_2 \) nell'ipotesi che si sia verificato l'evento \( E_1 \).

Teorema della probabilità composta per eventi indipendenti

Dati due eventi indipendenti, la probabilità che si verifichino entrambi è data dal prodotto delle probabilità$$P(E_1 \cap E_2)=P(E_1)\cdot P(E_2)$$

esempio

Consideriamo di lanciare due dadi e voler calcolare la probabilità che esca il numero 3 su entrambi; i due dadi sono identici e quindi gli eventi su un singolo dado hanno la stessa probabilità anche sull'altro. Per il teorema della probabilità composta per eventi indipendenti si ha che la probabilità di ottenere il valore 3 su entrambi i dadi è \( P(3\times3)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}= \frac{1}{36}\) visto che la probabilità di ottenere 3 da un singolo dado è pari ad \( \frac{1}{6} \). Per vedere se è esatta calcoliamo la probabilità dividendo il numero di casi favorevoli per quello di casi possibili; i casi possibili saranno tutte le coppie di valori che possono verificarsi quindi $$\left \{(1;1),(1;2),....,(1;6),(2;1)(2;2),.....,(2;6),...(6;1),....,(6;6) \right \}$$in totale sono 36 combinazioni e tra queste vi è una sola combinazione favorevole, quella (3;3) e quindi la sua probabilità sarà \( P(3\times3)= \frac{1}{36}\) come avevamo ottenuto sfruttando il teorema.

Nel caso in cui i due eventi non siano indipendenti abbiamo:

Teorema della probabilità composta per eventi dipendenti

Dati due eventi dipendenti, la probabilità che si verifichino entrambi è data dal prodotto della probabilità del primo per la probabilità del secondo condizionata al primo$$P(E_1 \cap E_2)=P(E_1)\cdot P(\frac{E_2}{E_1})$$

esempio

Consideriamo il lancio di un dado e gli eventi ottenere un valore pari ed ottenere un valore maggiore di tre. Questi due eventi sono palesemente dipendenti perché quando lancio un dado se ottengo un numero pari avrò solo tre esiti pari e di questi due sono maggiori di tre quindi l'essere numeri pari influisce sul numero di casi favorevoli e possibili per il secondo evento. Volendo applicare la formula del teorema dobbiamo prima calcolare la probabilità di essere maggiore di tre condizionata dall'essere pari; come abbiamo detto, l'essere pari restringe a 3 il numero di eventi possibili( 2,4,6) ed a 2 il numero di eventi favorevoli (4,6) per l'evento essere maggiore di tre quindi abbiamo $$P(\frac{ >3}{pari})=\frac{2}{3}$$Calcoliamo allora la probabilità composta$$P(pari \cap >3)=P(pari)\cdot P(\frac{ >3}{pari})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$Verifichiamo questo risultato calcolando la probabilità in modo normale; i casi possibili per il lancio di un dado sono 6 mentre quelli favorevoli affinché si ottenga un valore pari e maggiore di tre sono 2.
Quindi la probabilità \( P(pari \cap >3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \) come ottenuto in precedenza.


N.B. i concetti di dipendenza e compatibilità sono totalmente diversi cioè due eventi possono essere:

compatibili e dipendenti
(come ad esempio gli eventi numero pari e numero maggiore di 4 per lo stesso lancio di un dado)

compatibili ed indipendenti(ad esempio gli eventi numero pari al primo lancio e numero maggiore di 4 al secondo per due lanci diversi di un dado)

incompatibili e dipendenti(ad esempio gli eventi numero pari e numero dispari per il singolo lancio di un dado infatti gli insiemi degli eventi favorevoli hanno intersezione nulla ma gli eventi dipendono uno dagli altri infatti il verificarsi dell'uno esclude l'altro cioè \(P(pari \cap dispari)=0 \) )

Due elementi invece non sono mai incompatibili ed indipendenti se non risulta che uno dei due eventi ha probabilità nulla. Infatti se due eventi sono incompatibili forzatamente il verificarsi di uno deve escludere l'altro non esistendo eventi possibili che possano verificare entrambi gli eventi.



Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.