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Teorema della probabilità totale per eventi compatibili ed incompatibili


Prima di enunciare il teorema della probabilità totale introduciamo la rappresentazione grafica della probabilità.
Consideriamo come esempio una scatola con 20 palline numerate dall'uno al venti.
Lo spazio degli eventi è quindi costituito da tutti gli elementi possibili e si rappresenta graficamente come un rettangolo che contiene tutti gli elementi possibili (il rettangolo nel linguaggio insiemistico definisce l'insieme universo)

All'interno dello spazio degli eventi, gli eventi favorevoli si evidenziano ponendoli in una ellisse; in figura quelli relativi all'evento estrai un ultiplo di 4

Quando consideriamo due eventi, ad esempio estrarre un numero multiplo di 4 ed estrarre un multiplo di 7, raggruppiamo all'interno dello spazio degli eventi i casi favorevoli distintamente. Se i due sottoinsiemi non hanno elementi in comune diremo che gli eventi sono incompatibili

Quando due eventi hanno gli insiemi che rappresentano gli eventi favorevoli che hanno elementi in comune si dicono compatibili (ad esempio nello spazio degli eventi di prima, sono compatibili gli eventi estrarre un numero pari ed estrarre un multiplo di 5 infatti i numeri 10 e 20 sono sia pari che multipli di 5) .

Due eventi ,relativi allo stesso spazio degli eventi si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente; si dicono compatibili se è possibile che si verifichino contemporaneamente

Teorema della probabilità totale per eventi incompatibili

Dati due eventi incompatibili ( \(E_1 , E_2 \) ), la probabilità che si verifichi uno dei due eventi è data dalla somma delle due probabilità$$P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)$$
Un classico esempio di eventi incompatibili è dato dagli eventi opposti; per essi infatti avevamo già visto che la somma delle loro probabilità ci restituisce la certezza.
Riconducendoci all'esempio precedente consideriamo l'evento estrarre un numero minore di 5 e l'evento estrarre un multiplo di 7; i due eventi sono palesemente incompatibili perché non esiste nessun numero minore di cinque che sia multiplo di sette. La probabilità totale (quella di estrarre un numero minore di cinque o multiplo di sette) è pari alla semplice somma delle probabilità:
P(<5)\(=\frac{4}{20}=\frac{1}{5} \)
P(multiplo di sette)\( =\frac{2}{20}=\frac{1}{10}\)
P(<5)+P(multiplo di sette)\( =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{2+1}{10}=\frac{3}{10} \)

Teorema della probabilità totale per eventi compatibili

Dati due eventi compatibili ( \(E_1 , E_2 \) ), la probabilità che si verifichi uno dei due eventi è data dalla somma delle due probabilità diminuita della probabilità che si verifichi l'evento comune ad entrambi.$$P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2)$$ Infatti se due esempi sono compatibili essi avranno degli eventi favorevoli in comune e calcolando semplicemente la somma delle probabilità noi conteremmo questi eventi comuni due volte; è per questo che dalla somma noi sottraiamo la probabilità che si verifichi un evento comune. Vediamo ad esempio gli eventi estrarre un numero maggiore di 10 e l'evento estrarne uno minore di 15; i due eventi sono compatibili perché gli eventi possibili estrarre 11 , estrarre 12, 13 , 14 sono comuni ad entrambe gli eventi. Calcoliamo le probabilità di questi due eventi e poi sommiamole:
P(>10)\(=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)
P(<15)\(=\frac{14}{20}=\frac{7}{10} \)
P(>10)+P(<15)\(=\frac{1}{2}+\frac{7}{10}=\frac{5+7}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5} \) che è maggiore di uno; ma uno è la probabilità di un evento certo ed è quindi il valore massimo che può assumere una probabilità. Questo significa che abbiamo commesso un errore; l'errore sta nell'aver considerato i due eventi come incompatibili infatti sommando le due probabilità abbiamo sommato due volte la probabilità che si verifichi un evento comune, cioè un numero compreso tra 11 e 14. Perciò per ottenere il risultato giusto dobbiamo sottrarre la probabilità di un evento comune in modo che nella somma sia contata una sola volta.
\( P( >10 \cap < 15)=P(11,12,13,14)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5} \)
Sottraiamo questa probabilità alla somma precedente ed otteniamo
\( P( >10 \cup < 15)=P(>10)+P(< 15)-P( >10 \cap < 15)=\frac{6}{5}-\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1 \)
Questo è il risultato giusto perché la probabilità di estrarre un numero maggiore di 10 o minore di 15 equivale alla probabilità di estrarre un qualsiasi numero e quindi deve essere 1.

Esercizio

In una classe vi sono 30 alunni che stanno ripassando la lezione prima di essere interrogati; di essi 12 ripetono matematica, 15 ripetono fisica e 8 storia inoltre del totale 3 alunni ripetono sia fisica che matematica mentre 2 ripetono fisica e storia. Sorteggiando un alunno a sorte che probabilità abbiamo che stia ripetendo storia o matematica?e che probabilità abbiamo che stia ripetendo matematica e fisica?
Rappresentiamo graficamente il problema disegnando lo spazio degli eventi elementari e raggruppando in insiemi gli eventi possibili per ogni probabilità considerata.
Calcoliamo la probabilità di sorteggiare un alunno che stia ripetendo storia o matematica; i due eventi sono incompatibili perché non vi è nessuno studente che ripeta entrambe le materie. Allora per il teorema della probabilità totale per eventi incompatibili si ha:$$P(matematica \cup storia)=P(matematica)+P(storia)=\frac{12}{30}+\frac{8}{30}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$$La probabilità di sorteggiare un alunno che stia ripetendo matematica o fisica non possiamo calcolarla allo stesso modo poiché i due eventi non sono incompatibili; dobbiamo quindi usare la formula fornita dal teorema della probabilità totale per gli eventi compatibili$$P(matematica \cup fisica)=P(matematica)+P(fisica)-P(matematica \cap fisica)$$dove l'ultimo termine è la probabilità di sorteggiare uno studente che stia ripetendo sia matematica che fisica e come sappiamo essa vale \( P(matematica \cap fisica)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10} \). Allora otteniamo$$P(matematica \cup fisica)=\frac{12}{30}+\frac{15}{30}-\frac{1}{10}=\frac{12+15-3}{30}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$$



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