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Algebra

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Introduzione al calcolo della probabilità


Il calcolo della probabilità è la disciplina che ci permette di associare ad ogni evento un numero che indichi quanto possiamo essere certi del verificarsi dell'evento stesso.

esempio

Consideriamo una scatola con 20 palline al suo interno; queste palline sono numerate dall'uno al venti. Vogliamo conoscere quale è la probabilità di pescare il numero 3, quale quella di prendere un numero pari, quale di un numero dispari e quale quella di estrarre un numero maggiore di 13.

Cominciamo con il valutare che su un totale di 20 palline vi è:

una sola pallina con stampato il numero 3;

10 palline con stampato un numero pari ;

10 palline con stampato un numero dispari ;

7 palline con stampato un numero maggiore di 13;

Ragionando in modo intuitivo siamo portati a pensare che sia più semplice estrarre una pallina con una caratteristica più diffusa rispetto ad una con una caratteristica più rara; quindi ad esempio intuiamo che pescare un numero dispari è più probabile di pescare un numero maggiore di 7 o pescare addirittura il numero 3 mentre pensiamo che pescare un numero pari possa avere la stessa possibilità di estrarne uno dispari visto che sono presenti in egual numero. Il nostro ragionamento è basato come vediamo sul numero totale delle palline e sul numero delle stesse con la caratteristica che cerchiamo; e proprio così che si definisce la probabilità, essa è rappresentata dal rapporto tra il numero di palline con una data caratteristica e il numero totale di palline. Per l'esempio estrarre il numero 3 avrà probabilità, e la indichiamo con P(3), \( P(3)=\frac{1}{20} \) perché una è la pallina con il numero 3 mentre 20 è il numero totale delle palline; allo stesso modo l'estrazione di un numero pari ha probabilità P(pari)\(=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\) che coincide con quella di estrarre un numero dispari. Notiamo che i numeri nella scatola possono essere o pari o dispari, cioè la somma dei numeri pari e dispari ci restituisce esattamente l'insieme totale delle palline, quindi sommiamo la probabilità di pescare un numero pari a quella relativa ad un numero dispari ed otteniamo \(P(pari)+P(dispari)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\); questa è la probabilità di pescare un numero che sia pari o dispari e quindi semplicemente di pescare un numero che è sempre verificata quindi possiamo dire che la probabilità di un evento certo è 1. Allo stesso modo consideriamo la probabilità di pescare un numero minore o uguale a 13; poiché l'unione dei numeri minori o uguali a 13 e di quelli maggiori di 13 ci da tutti i possibili numeri presenti nella scatola e poiché sappiamo che la probabilità di pescare un qualsiasi numero (evento certo) è 1 mentre di pescarlo maggiore di 13 è \( P(>13)=\frac{7}{20} \) otteniamo che la probabilità di pescare un numero minore o uguale a 13 vale \( P(\leq)=1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20} \) che è la stessa se calcolata come rapporto tra palline minori o uguali a tredici fratto palline totali.Due eventi che hanno questa caratteristica si dicono contrari.


Diamo adesso qualche definizione:
Si definisce spazio degli eventi l'insieme di tutti gli eventi elementari; cioè tutti quelli verificabili.
Nel nostro caso ogni estrazione di una singola pallina rappresenta un evento elementare o possibile e quindi lo spazio degli eventi è costituito dai venti eventi possibili relativi all'estrazione delle venti palline numerate.

Si definiscono eventi favorevoli quegli eventi di cui cerchiamo la probabilità
Nel nostro esempio quando cercavamo la probabilità di estrarre il numero 13 c'era un solo evento possibile, l'estrazione della pallina col numero tredici, mentre per il calcolo della probabilità di estrarre un numero pari, i casi possibili erano le estrazioni dei 10 numeri pari (cioè 'estrazione del numero 2, l'estrazione del numero 4, ......., l'estrazione del numero 20)

Si definisce probabilità del verificarsi di un evento il rapporto tra il numero dei casi favorevoli fratto il numero dei casi possibili$$P(E)=\frac{f}{p}$$dove f è il numero di casi favorevoli e p il numero dei casi possibili.
Nel nostro esempio P(>13)=\frac{7}{13}.

Se nel nostro esempio avessimo chiesto la probabilità di pescare un numero negativo avremmo ottenuto P(< 0)\(=\frac{0}{20}=0 \) infatti non essendoci palline con numeri negativi non vi è nessun evento favorevole e quindi il rapporto è zero.
Abbiamo quindi osservato che la probabilità è un numero che va da 0 (evento impossibile) ad 1 (evento certo); inoltre abbiamo visto che la somma delle probabilità di un evento e del suo opposto è uguale ad uno cioè indicato con \( \overline{E} \) l'evento opposto dell'evento E si ha \( P(E)+P(\overline{E})=1 \) e da ciò ricaviamo $$ P(\overline{E})=1-P(E) $$ N.B. Abbiamo considerato nelle nostre ipotesi sempre eventi elementari equiprobabili cioè per il nostro esempio abbiamo considerato tutte palline perfettamente identiche senza alcuna caratteristica che privilegiasse l'estrazione dell'una rispetto all'altra.

Esercizio

Consideriamo un vaso con all'interno palline rosse e nere; quante palline rosse ci sono nel vaso per avere una probabilità pari a 0,25 sapendo che vi sono 15 palline nere?

Dette P(r) e P(n) le probabilità di pescare palline rosse o nere e con r il numero di palline rosse e con t quello totale delle palline, dalle regole sul calcolo delle probabilità ricaviamo:
\( P(r)= \frac{r}{t}=0,25 \)
\( P(n)= \frac{15}{t} \) perchè il numero di palline nere è uguale al numero totale meno il numero di quelle rosse.
Osserviamo però che, essendoci nel vaso solo palline rosse e nere, si ha che le due probabilità sono opposte e quindi vale la relazione
\( P(n)=1-P(r) \rightarrow P(n)=1-0,25=0,75 \)
Abbiamo allora tre equazioni in tre incognite che messe a sistema ci daranno la soluzione cercata$$\left\{\begin{matrix} \frac{r}{t}=0,25 \\ P(n)= \frac{15}{t} \\ P(n)=0,75 \end{matrix}\right.$$Dalla prima ricaviamo t e sostituiamo nella seconda il valore di t e quello di P(n) ottenendo$$\left\{\begin{matrix} t=\frac{r}{0,25} \\ 0,75= \frac{15}{\frac{r}{0,25}} \\ P(n)=0,75 \end{matrix}\right.$$risolviamo la seconda equazione per ricavare r (il numero di palline rosse)$$0,75= \frac{15}{\frac{r}{0,25}} \\ 0,75=15\cdot\frac{0,25}{r} \\ 0,75=\frac{3,75}{r} \\ 0,75r=3,75 \\ r=\frac{3,75}{0,75}=5$$



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