Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Intersezione tra curve


Si definisce traslazione del sistema di riferimento, quel movimento rigido che porta gli assi in una nuova posizione in cui sono paralleli a quelli di partenza ed inoltre conservano sia l'orientazione che l'unità di misura originari.

Vogliamo adesso calcolare le relazioni che legano le coordinate di un punto nel sistema di riferimento traslato rispetto alle coordinate dello stesso punto nel sistema di riferimento di partenza.

Consideriamo un sistema di riferimento Oxy ed il sistema traslato O'XY ed un punto P che avrà coordinate diverse nei due sistemi di riferimento. Per prima cosa indichiamo le coordinate dell'origine del sistema traslato nell'altro (che chiameremo sistema fisso); indichiamo con \( O'_x \) ed \( O'_Y \) rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di O' nel sistema Oxy mentre evidentemente le sue coordinate nel sistema O'XY sono (0;0) essendo l'origine degli assi. Supponiamo che il punto P abbia coordinate (x;y) nel sistema Oxy e coordinate (x';y') nel sistema O'XY .
traslazione del sistema di riferimento
Dalla figura possiamo ricavare le seguenti relazioni:

\( \left\{\begin{matrix} x=O'_x + x' \\ y=O'_y+y' \end{matrix}\right. \)

Questa coppia di equazioni è la stessa qualsiasi posizione assumono il sistema traslato ed il punto P; inoltre grazie ad esse è possibile calcolare le coordinate di un punto nel sistema di riferimento fisso, una volta note le coordinate del punto stesso in un sistema di riferimento traslato.
Possiamo anche manipolare queste equazioni ed esplicitarle rispetto alle coordinate x' e y' ottenendo:

\( \left\{\begin{matrix} x'= x-O'_x \\ y'=y-O'_y \end{matrix}\right. \)

Queste ci permettono di calcolare le coordinate di un punto in un qualsiasi sistema traslato una volta note le coordinate nel sistema fisso. Notiamo che queste trasformazioni si possono applicare anche a delle curve poiché esse altro non sono se non insiemi di punti; otteniamo quindi l'equazione della stessa curva ma in un altro sistema di riferimento.


Consideriamo la circonferenza di equazione \( x^2+y^2-16=0 \) nel sistema di riferimento Oxy e ricaviamo la sua equazione nel sistema di riferimento traslato O'XY la cui origine ha coordinate (-2;1) nel sistema di riferimento di origine.

Applichiamo le formule ricavate prima per ottenere le coordinate in un sistema fisso a partire da un sistema traslato; in particolare risulta \( O'_x=-2\) ed \( O'_y=1\) e quindi le relazioni sono:

\( \left\{\begin{matrix} x= (-2)+x' \ \rightarrow \ x=-2+x' \\ y=(1)+y' \ \rightarrow \ \ y=1+y' \end{matrix}\right. \)

Sostituiamo questi valori nell'equazione della circonferenza per ricavare l'equazione relativa al sistema traslato essendo una relazione tra x' ed y' $$(-2+x')^2+(1+y')^2-16=0 \\ 4+x'^2-4x'+1+y'^2+2y-16=0 \\ x'^2+y'^2-4x'+2y'-11=0$$ Questa ultima è l'equazione della circonferenza vista dal sistema di riferimento traslato; notiamo che mentre rispetto al sistema fisso la circonferenza aveva centro nell'origine, non lo avrà nel sistema traslato.

traslazione del sistema di riferimento

Spesso utilizzare queste formule ci aiuta rendendo alcune equazioni di luoghi geometrici molto più semplici da manipolare, proprio come l'esempio appena visto in cui nel passare da un sistema all'altro abbiamo visto come l'equazione della circonferenza cambiasse forma.




Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.