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Tangenti ad una conica


In precedenza abbiamo discusso dell'intersezione tra due curve (vai alla pagina) ed abbiamo osservato che per valutare gli eventuali punti di intersezione bastava porre a sistema le due equazioni e calcolarne le soluzioni; avevamo anche detto che nel caso in cui avessimo ottenuto due soluzioni reali coincidenti questo significava che le curve erano tangenti.

Abbiamo adesso introdotto due tipi di curve: una in modo specifico, la retta ed una in modo ancora generale, le coniche. Vogliamo studiare allora come poter individuare (scrivere l'equazione) la tangente ad una conica da un punto P generico.
Osserviamo che l'esistenza ed il numero di tangenti ad una conica da un punto \( P(x_0;y_0) \) dipendono dalla posizione del punto stesso rispetto alla conica, in particolare: se il punto appartiene alla conica sarà possibile condurre alla conica stessa una sola tangente ed il punto di tangenza sarà lo stesso già considerato; se invece il punto non appartiene alla conica possono verificarsi due casi, dal punto si possono tracciare due tangenti alla conica oppure non vi sono tangenti alla conica passanti per il punto considerato. Nel primo caso diremo che il punto è esterno alla conica mentre nel secondo diremo che è interno. Studiamo separatamente i casi in cui \(P\) sia esterno alla conica o appartenente ad essa (sulla conica).


Tangenti alla conica da un punto esterno

Per calcolare l'equazione delle tangenti alla conica da un punto esterno \( P(x_0;y_0) \) possiamo considerare il fascio proprio di rette di centro il punto stesso e mettere a sistema la sua equazione con l'equazione della conica come in genere facciamo per trovare i punti di intersezione. $$\left\{\begin{matrix} y-y_0=m(x-x_0) \\ F(x;y)=0 \end{matrix}\right.$$ Applichiamo il metodo di sostituzione, ricaviamo ad esempio dalla prima equazione la variabile y e la sostituiamo nella seconda che diventerà una equazione di secondo grado in x con la presenza del parametro m; affinché retta e conica siano tangenti questa equazione deve ammettere due soluzioni coincidenti quindi nella sua formula risolutiva deve risultare \( \sqrt{\Delta}=0\). Da questa posizione ricaviamo una equazione nella sola variabile m le cui soluzioni rappresentano i valori di m per i quali il Δ è zero e quindi la retta è tangente alla conica; questa equazione è generalmente di secondo grado ed ammette due soluzioni distinte quando consideriamo un punto P esterno. Le due soluzioni \(m_1 \ \ e \ \ m_2 \) rappresentano i coefficienti angolari delle rette tangenti le cui equazioni saranno $$y-y_0=m_1(x-x_0) \ \ e \ \ y-y_0=m_2(x-x_0)$$ A volte però potremmo trovarci nel caso in cui l'equazione in m è di primo grado e quindi ricaveremo un solo valore \(m_1 \); questo non significa che la tangente è unica ma che mentre una tangente avrà coefficiente angolare \(m_1 \) l'altra sarà parallela all'asse y e quindi equazione \(x=x_0\). Questa situazione è dovuta al fatto che l'equazione del fascio proprio di rette di centro un punto P rappresenta tutte le infinite rette per il punto tranne quella parallela all'asse delle ordinate.

Una volta ricavate le equazioni possiamo ricavare anche i punti di tangenza sostituendo il valore di m nel sistema visto prima e calcolandone le soluzioni (N.B. si può omettere di calcolare il Δ dell'equazione risolutiva visto che i valori di m sono tali che esso sarà sicuramente nullo); otterremo allora un punto per ogni valore di m.


Tangenti alla conica in un suo punto

Come per la tangente da un punto esterno anche adesso consideriamo il fascio proprio di rette di centro P e poniamo a sistema la sua equazione e quella della conica. Applichiamo ancora una volta il metodo di sostituzione ed imponiamo che il Δ dell'equazione ottenuta sia nullo per calcolare m; ricaviamo una equazione in m di secondo grado che deve ammettere necessariamente due soluzioni coincidenti dato che la tangente per un punto appartenente alla conica è unica. Otteniamo allora due soluzioni \(m_1=m_2\) e quindi una sola retta di equazione $$y-y_0=m_1(x-x_0)$$ Può anche accadere che non riusciamo a ricavare alcun valore di m dalla posizione \( \Delta =0\) ed in quel caso si ha che la tangente è parallela all'asse y e quindi di equazione \(x=x_0\)

Stavolta non dobbiamo faticare per trovare il punto di tangenza visto che esso è proprio il punto considerato.



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