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Algebra

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Rette parallele e perpendicolari.


La definizione dell'equazione della retta è stata studiata nell'anno precedente; per rivederla visita la pagina Equazione della retta

Per prima cosa consideriamo una generica retta \( y=mx+q \) nel piano cartesiano Oxy e ricaviamo l'equazione della retta ad essa parallela passante per l'origine degli assi.

assi traslati sulla retta
Per ricavare questa equazione possiamo supporre di traslare gli assi, come in figura, fino a portare l'origine O degli assi sulla retta il che equivale a traslare la retta tenendo fermi gli assi; per semplicità lo facciamo lasciando fisso l'asse y e spostando solo quello delle ascisse. Ricordiamo che il valore q dell'equazione della retta è proprio l'ordinata all'origine cioè il valore dell'ordinata che assume la retta nel punto di incontro con l'asse y quindi facciamo in modo che in quello stesso punto incontri anche l'asse delle ascisse applicando una traslazione del tipo $$\left\{\begin{matrix} x=X \\ y=Y+q \end{matrix}\right.$$ Sostituiamo questi valori nell'equazione della retta ed otteniamo $$(Y+q)=m(X)+q \\ Y+q=mX+q \\ Y=mX$$ Quindi l'equazione della retta passante per l'origine, e parallela ad una retta data, ha equazione Y=mX dove il coefficiente angolare m è lo stesso di quello della retta generica.


Condizione di parallelismo tra due rette

rette parallele nel piano
Consideriamo adesso due rette parallele \(r \rightarrow y=m_rx+q_r \) ed \( s \rightarrow y=m_sx+q_s\) nel piano cartesiano Oxy come in figura.
Per quanto appena visto scriviamo le equazioni delle rette r' ed s' parallele a quelle date ma passanti per l'origine:

\(r' \rightarrow y=m_rx \)
\( s' \rightarrow y=m_sx \)

Ma per la proprietà transitiva del parallelismo, se r ed s sono parallele lo saranno anche \( r' \) ed \( s' \) ma queste ultime passano per uno stesso punto (l'origine) e quindi devono coincidere perché due rette parallele che hanno un punto in comune, sono la stessa retta. Ma se le due rette coincidono significa che le due equazioni coincidono e quindi $$ m_r=m_s $$ Abbiamo allora ricavato che due rette sono parallele se e solo se hanno i coefficienti angolari uguali.

Per verificare il parallelismo tra due rette basta quindi scrivere le due equazioni nella forma esplicita \(y=mx+q\) ed osservare se i coefficienti angolari sono uguali (N.B. la forma esplicita prevede che il coefficiente numerico della y sia 1). Allo stesso modo se dobbiamo scrivere una retta che sia parallela ad una retta data, basterà considerarne una il cui coefficiente angolare sia lo stesso.


Valutare se le due rette \(r \rightarrow 2x+y-2=0 \) e \( s \rightarrow 1-2y -4x=0 \) sono parallele.

Scriviamo le due equazioni nella forma esplicita:

\(r \rightarrow 2x+y-2=0 \ \rightarrow \ y=-2x+2 \)
\( s \rightarrow 1-2y -4x=0 \ \rightarrow \ -2y=4x-1 \ \rightarrow y=-2x+\frac{1}{2} \)

Le due equazioni hanno lo stesso coefficiente angolare e quindi sono parallele.



Condizione di ortogonalità tra due rette

rette ortogonali nel piano
Consideriamo un piano cartesiano Oxy e due sue rette r ed s perpendicolari tra loro di equazioni:

\(r \rightarrow y=m_rx+q_r \)
\( s \rightarrow y=m_sx+q_s\)

Ancora una volta consideriamo le rette \( r' \) ed \( s' \) parallele a quelle date ma passanti per l'origine; esse avranno equazioni: $$ r' \rightarrow y=m_rx \ \ \ \ \ \ s' \rightarrow y=m_sx$$ Consideriamo adesso come in figura il triangolo AOB dove il vertice A è il punto della retta \(r' \) di ascissa 1 mentre B è il punto della retta \(s' \) di ascissa 1; l'ordinata di A sarà \( y=m_r(1)=m_r\) mentre quella di B sarà \( y=m_s(1)=m_s\). Osserviamo che le rette \(r' \) ed \(s' \) sono ortogonali perché parallele di rette ortogonali (r ed s) per ipotesi; quindi per la definizione di ortogonalità esse daranno vita a quattro angoli retti. In particolare è retto l'angolo \( \widehat{AOB} \) e quindi il triangolo AOB è rettangolo; possiamo allora applicare il teorema di Pitagora uguagliando il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa \( \overline{AB}\) alla somma dei quadrati dei cateti \( \overline{AO}\) e \( \overline{OB}\). Calcoliamo prima queste lunghezze:

\( \overline{AO}=\sqrt{(y_A-y_O)^2+(x_A-x_O)^2}=\sqrt{(m_r-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{m_{r}^2+1} \)

\( \overline{OB}=\sqrt{(y_O-y_B)^2+(x_O-x_B)^2}=\sqrt{(0-m_s)^2+(0-1)^2}=\sqrt{m_{s}^2+1} \)

\( \overline{AB}=\sqrt{(y_A-y_B)^2+(x_A-x_B)^2}=\sqrt{(m_r-m_s)^2+(1-1)^2}=\sqrt{(m_r-m_s)^2+0}=|m_r-m_s| \)
infatti avendo i due punti la stessa ascissa la loro distanza è tutta lungo l'asse delle ordinate e quindi essa vale il valore assoluto della differenza tra le ordinate; per come abbiamo considerato

Scriviamo allora l'uguaglianza di Pitagora $$(\overline{AB})^2= (\overline{AO})^2 + ( \overline{OB})^2$$ $$(|m_r-m_s|)^2=(\sqrt{m_{r}^2+1})^2+(\sqrt{m_{s}^2+1})^2$$ $$m_{r}^2+m_{s}^2-2m_{r}m_{s}=(m_{r}^2+1)+(m_{s}^2+1)$$ $$m_{r}^2+m_{s}^2-2m_{r}m_{s}=m_{r}^2+m_{s}^2+2 $$ $$ -2m_{r}m_{s}=2 $$ $$ m_{r}m_{s}=-1$$Oppure alternativamente \( m_{r}=-\frac{1}{m_{s}} \)

Abbiamo quindi dimostrato che due rette perpendicolari tra loro hanno i coefficienti angolari "uno l'opposto del reciproco dell'altro" cioè tali che il loro prodotto sia pari a \( -1 \). Si può dimostrare anche il contrario cioè che due rette che hanno i coefficienti angolari il cui prodotto vale -1, sono perpendicolari; quindi possiamo scrivere:

Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano ortogonali tra loro è che il prodotto dei loro coefficienti angolari valga -1.

Per controllare allora se due rette sono ortogonali basta scrivere le sue equazioni in forma esplicita, in modo da evidenziare i coefficienti angolari, e valutare se il prodotto dei coefficienti angolari vale -1; in tal caso saranno ortogonali. Allo stesso modo se dobbiamo scrivere l'equazione di una retta perpendicolare ad una retta data basta considerarne una il cui coefficiente angolare moltiplicato per quello della retta di partenza dia come risultato -1.


Valutare se le due rette \(r \rightarrow x+-2y-2=0 \) e \( s \rightarrow 1-2y -4x=0 \) sono perpendicolari.

Scriviamo le due equazioni nella forma esplicita:

\(r \rightarrow x-2y-2=0 \ \rightarrow \ -2y=-x+2 \ \rightarrow y=\frac{1}{2}x-1 \)
\( s \rightarrow 1-2y -4x=0 \ \rightarrow \ -2y=4x-1 \ \rightarrow y=-2x+\frac{1}{2} \)

Valutiamo il prodotto dei coefficienti angolari:
\(m_r \cdot m_s =\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1 \) il prodotto vale -1 quindi le rette sono ortogonali.





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