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Algebra

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Fascio di rette generato da due rette


Consideriamo due rette di equazioni

\(r \ \rightarrow \ a_rx+b_ry+c_r=0 \)

\(s \ \rightarrow \ a_sx+b_sy+c_s=0 \)

ed un parametro \(k \in \mathbb{R} \); scriviamo la combinazione lineare di queste due rette tramite il parametro \(k\) ed otteniamo $$a_rx+b_ry+c_r+k(a_sx+b_sy+c_s)=0$$ Questa equazione rappresenta il fascio di rette generato da due rette e le due rette \(r\) ed \( s \) sono dette rette base del fascio o rette generatrici ; vogliamo dimostrare che se le due rette base sono incidenti questa equazione rappresenta il fascio proprio di rette di centro il punto di intersezione delle due rette base, se invece sono parallele l'equazione rappresenta il fascio improprio di rette ad esse parallele. A tale scopo scriviamo l'equazione in una nuova forma raggruppando i termini con la stessa variabile $$a_rx+ka_sx+b_ry+kb_sy+ c_r+kc_s=0$$ $$(a_r+ka_s)x+(b_r+kb_s)y+ c_r+kc_s=0$$ Lasciamo ora solo il termine con la variabile \(y\) al primo membro e portiamo il resto al secondo in modo da ottenere la forma esplicita dell'equazione $$(b_r+kb_s)y=-(a_r+ka_s)x-(c_r+kc_s)$$ $$y=-\frac{a_r+ka_s}{b_r+kb_s}x-\frac{c_r+kc_s}{b_r+kb_s}$$ Osserviamo che questa equazione è lineare in x ed y e quindi rappresenta una retta nel piano cartesiano una volta assegnato un valore di k e quindi al variare di quest'ultimo essa restituirà sempre delle rette; il coefficiente della variabile x rappresenta quindi il coefficiente angolare della retta. Studiamo adesso i due casi cioè se le rette sono parallele o incidenti:


rette base parallele

Quando abbiamo esaminato il parallelismo tra due rette abbiamo riscontrato che due rette sono parallele se il rapporto tra i coefficienti della stessa variabile è costante; quindi se \(r\) ed \(s\) sono parallele risulta

\(\frac{a_r}{a_s}=\frac{b_r}{b_s}=h\)

Da ciò ricaviamo che \(a_r=h \cdot a_s\) e \(b_r=h \cdot b_s\); sostituiamo queste relazioni nel coefficiente angolare del fascio ed otteniamo $$-\frac{a_r+ka_s}{b_r+kb_s}=-\frac{ha_s+ka_s}{hb_s+kb_s}=-\frac{a_s(h+k)}{b_s(h+k)}=-\frac{a_s}{b_s}$$ Quindi il coefficiente angolare non dipende più dal parametro k ma da dei valori che sono fissi una volta scelte le rette base e quindi l'equazione del fascio generato da due rette parallele rappresenta proprio l'equazione del fascio improprio di rette visto che ha coefficiente angolare fisso ed ordinata all'origine che dipende da k.

rette base incidenti

Supponiamo che sia \(P(x_0;y_0) \) il punto di intersezione delle due rette base quindi il punto appartiene ad entrambe le rette e le loro equazioni sono soddisfatte contemporaneamente; allora per la combinazione lineare tra le equazioni scritta all'inizio otteniamo $$a_rx+b_ry+c_r+k(a_sx+b_sy+c_s)=0 \ \ \rightarrow \ \ 0+k(0)=0$$ Questa equazione è soddisfatta per qualsiasi valore di k cioè le coordinate del punto \(P\) soddisfano l'equazione parametrica per qualsiasi valore di k e quindi tutte le rette individuate al variare del parametro passano necessariamente per \(P\). Siamo allora sicuri che ogni retta ricavata al variare di \(k\) appartiene al fascio proprio di rette di centro \(P\) ; vediamo adesso che ogni retta del fascio proprio è rappresentata dalla combinazione lineare di rette.
Prendiamo un punto \(P_1(x_1;y_1) \) diverso da \(P\); avremo allora una unica retta del fascio proprio di centro \(P\) e passante per \(P_1\). Dimostriamo che anch'essa è esprimibile attraverso la combinazione lineare delle equazioni infatti imponendo che quest'ultima sia soddisfatta dalle coordinate del punto \(P_1 \) otteniamo in modo univoco il valore di k corrispondente. $$a_rx_1+b_ry_1+c_r+k(a_sx_1+b_sy_1+c_s)=0$$ $$k(a_sx_1+b_sy_1+c_s)=-(a_rx_1+b_ry_1+c_r)$$ $$k=-\frac{a_rx_1+b_ry_1+c_r}{a_sx_1+b_sy_1+c_s}$$ Al secondo membro sono tutti numeri e quindi otteniamo il valore di K.
Abbiamo allora dimostrato che tutte le equazioni ricavabili dalla combinazione lineare sono equazioni del fascio proprio e che ogni equazione del fascio proprio di rette è esprimibile con la combinazione lineare quindi otteniamo che il fascio generato da due rette incidenti coincide con il fascio proprio di rette che ha per centro il punto di intersezione delle rette base.
Il fascio generato da due rette include in se, quindi, i due fasci studiati precedentemente.


Osserviamo adesso che dall'equazione del fascio non è possibile estrarre l'equazione della retta base \(s\) mentre per estrarre l'equazione di \( r \) basta porre \(k=0\) cioè la seconda generatrice non appartiene al fascio. Imponendo infatti il passaggio della generica retta del fascio per un punto \(P_2(x_2;y_2) \) che appartenga alla seconda generatrice si avrebbe $$a_rx_2+b_ry_2+c_r+k(a_sx_2+b_sy_2+c_s)=0$$ $$a_rx_2+b_ry_2+c_r+k(0)=0$$ $$k(0)=-(a_rx_2+b_ry_2+c_r)$$ Il secondo membro è diverso da zero, perché il punto non appartiene alla prima retta base, e quindi l'equazione non è soddisfatta per nessun k; però possiamo porre che essa sia soddisfatta per \(k=\infty \) cioè per un \(k\) talmente grande che il suo prodotto per 0 restituisca un valore non nullo.
Potremmo porre rimedio a questo problema considerando la combinazione lineare attraverso due coefficienti \(k_1 \ \ e \ \ k_2 \) il che farebbe però aumentare le difficoltà per il calcolo degli stessi. In definitiva, si preferisce l'equazione scritta in principio nonostante essa ometta di rappresentare l'equazione di una delle rette base.




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