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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Equazione della retta Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Fascio improprio di rette


Si definisce fascio improprio di rette l'insieme ti tutte le rette del piano cartesiano che risultano parallele tra di loro.

fascio improprio di rette
Quindi saranno tutte equazioni per le quali è costante il coefficiente angolare; per individuare un fascio improprio di rette basta in effetti definire il valore del coefficiente angolare che esse dovranno avere.
L'equazione generale del fascio improprio di rette sarà $$y=mx+k$$dove \(m \) è fissato mentre \(k \) è un parametro reale; in particolare per \(k=0 \) si ha l'equazione \( y=mx \) che passa per l'origine e che viene chiamata retta base del fascio improprio.
Ricordiamo che questa equazione è adatta solo a rappresentare fasci che non siano paralleli all'asse \(y\) poiché per questo asse non è definito il coefficiente angolare; in tal caso il fascio improprio di rette parallele all'asse \(y\) si indica con l'equazione \(x=k\) ed ora per \(k=0\) si ottiene la retta base del fascio che è proprio lasse delle ordinate.

Data una retta, la cui equazione sia scritta in qualsiasi forma, per scrivere l'equazione del fascio di rette ad essa parallele dobbiamo prima calcolare il suo coefficiente angolare (ad esempio m_0) e poi scrivere l'equazione \(y=m_0x+k\) che ci restituisce le equazioni delle rette al variare di k.
Se volessimo invece scrivere l'equazione del fascio di rette ortogonali ad una retta data basterebbe trovare il coefficiente angolare \(m_0\) della retta data e porre il coefficiente angolare dell'equazione del fascio pari a \( m_1=-\frac{1}{m_0} \).


Fascio proprio di rette


Si definisce fascio proprio di rette l'insieme ti tutte le rette del piano cartesiano che passano per uno stesso punto detto sostegno o centro del fascio.

fascio proprio di rette
Consideriamo per prima cosa le rette passanti per l'origine degli assi; abbiamo visto che la loro equazione è del tipo \(y=mx\) quindi possiamo affermare che questa equazione rappresenta il fascio proprio di rette passanti per l'origine degli assi.
Vogliamo adesso calcolare l'equazione del fascio in un generico punto \( P(x_0;y_0) \) ; possiamo avvalerci delle regole sulla traslazione considerando il fascio passante nell'origine degli assi visto però da un sistema di riferimento traslato.
Prendiamo un sistema di riferimento \(Oxy \) ed un punto P di coordinate \( (x_0;y_0) \) che rappresenta il centro di un fascio proprio di rette; consideriamo il sistema di riferimento traslato \( O'XY \) in modo che l'origine degli assi coincida col punto P cioè \( ( P \equiv O' ) \). In questo sistema di riferimento il fascio proprio di rette ha equazione \( Y=mX\) poiché costituito dalle rette passanti per l'origine O' degli assi. Ricaviamo adesso l'equazione del fascio rispetto al sistema di riferimento Oxy applicando all'equazione \(Y=mX \) le formule per la traslazione degli assi.
Queste ultime sono, nel passare da un sistema traslato ad uno fisso:

\( \left\{\begin{matrix} x=X+x_0 \\ y=Y+y_0 \end{matrix}\right. \)

Da queste ricaviamo \( X \ \ e \ \ Y \) ottenendo

\( \left\{\begin{matrix} X=x-x_0 \\ Y=y-y_0 \end{matrix}\right. \)

Sostituiamo nell'equazione del fascio ed otteniamo $$(y-y_0)=m(x-x_0)$$Questa è l'equazione di un generico fascio proprio di rette passanti per il punto \( P(x_0;y_0) \) dove m è il parametro al variare del quale si ricavano le varie equazioni delle rette del fascio.

In conclusione per scrivere l'equazione del fascio proprio di rette passanti per un punto basta scrivere questa equazione dove ai valori \( x_0 \ \ ed \ \ y_0 \) sostituiamo le coordinate del punto che vogliamo essere il centro del fascio stesso.




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