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Algebra

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Retta passante per due punti


Quando abbiamo definito l'equazione della retta avevamo ricavato la relazione $$\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$che doveva valere per qualsiasi coppia di punti \(A(x_A;y_A) \ \ e \ \ B(x_B;y_B) \) appartenenti alla retta stessa. Moltiplicare ambo i membri per la frazione $$\frac{x-x_A}{y_B-y_A} $$ed otteniamo $$\frac{x-x_A}{y_B-y_A} \cdot \frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \cdot \frac{x-x_A}{y_B-y_A} $$ $$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$$ Questa ultima è detta equazione della retta passante per due punti.


Calcolare l'equazione della retta passante per i due punti \( A(1;2) \ \ e \ \ B(0;-1) \).
Applichiamo direttamente la formula ottenendo $$\frac{y-(2)}{(-1)-(2)}=\frac{x-(1)}{(0)-(1)}$$ $$\frac{y-2}{-3}=\frac{x-1}{-1}$$ Portiamo allo stesso denominatore e poi eliminiamolo $$\frac{y-2}{-3}=\frac{3(x-1)}{-3}$$ $$y-2=3x-3 \ \rightarrow \ y=3x-1$$


Per calcolare l'equazione della retta passante per due punti abbiamo però a disposizione anche altre opzioni tutte altrettanto valide e che in alcuni casi possono essere più semplici da applicare; vediamole separatamente:

utilizzando semplicemente l'equazione della retta
Consideriamo l'equazione della retta in forma esplicita e notiamo che abbiamo bisogno di calcolare due parametri \(m\) e \(q\) e quindi dobbiamo scrivere due equazioni nelle incognite \(m\) e \( q\); queste due equazioni le ricaviamo imponendo il passaggio della retta per i due punti (cioè che le coordinate dei due punti soddisfino l'equazione della retta.


Calcolare l'equazione della retta passante per i due punti \( A(1;2) \ \ e \ \ B(0;-1) \).
Prendiamo l'equazione della retta generica in forma esplicita \(y=mx+q\) e scriviamo il sistema di equazioni $$\left\{\begin{matrix} 2=m(1)+q \\ -1=m(0)+q \end{matrix}\right.$$ dalla seconda ricaviamo \( q=-1 \) e sostituiamo nella prima ottenendo $$2=m-1 \ \rightarrow \ m=3 $$ Quindi l'equazione cercata è \( y=3x-1\)


Si può utilizzare anche l'equazione scritta in forma implicita che però ha tre incognite (a,b,c) e quindi troveremmo due soluzioni rispetto alla terza; dando poi a questa ultima un valore a piacere ricaveremmo i tre coefficienti e quindi l'equazione in forma implicita della retta cercata.

utilizzando il fascio proprio di rette
Quando abbiamo ricavato per la prima volta l'equazione della retta, abbiamo posto il coefficiente angolare m uguale al rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualsiasi della retta(purché non coincidenti) cioè$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ Considerando come punti generici quelli per cui vogliamo che passi la nostra retta, possiamo calcolare in anticipo il suo coefficiente angolare; a questo punto possiamo scrivere l'equazione del fascio proprio di rette con centro in uno dei due punti considerati e poi fissare il valore di m a quello appena calcolato.


Calcolare l'equazione della retta dell'esempio precedente.
Ricaviamo m:

\(m=\frac{(-1)-(2)}{(0)-(1)}=\frac{-3}{-1}=3\)

Scriviamo l'equazione del fascio proprio di rette di centro B $$y-(-1)=m[x-(0)] \ \rightarrow \ y+1=mx \ \rightarrow \ y=mx-1$$ Sostituiamo ad m il coefficiente angolare trovato prima e ricaviamo$$y=3x-1$$che coincide con quella calcolata prima.


Avremmo anche potuto scrivere direttamente l'equazione del fascio proprio di rette di centro un dei due punti e calcolare il coefficiente angolare imponendo il passaggio della generica retta del fascio per l'altro punto.


utilizzando il fascio improprio di rette
Anche per utilizzare il fascio improprio di rette abbiamo bisogno di individuare il coefficiente angolare m che sarà poi il coefficiente angolare del fascio m; dopo averlo calcolato scriviamo l'equazione del fascio improprio di rette \(y=mx+k\) dove abbiamo bisogno di calcolare il valore del parametro k al fine di individuare l'unica retta del fascio passante per i due punti. Possiamo a questo punto imporre il passaggio della generica retta del fascio per uno dei due punti per ricavare il valore di k.


Calcolare l'equazione della retta come negli esercizi in precedenza.
Calcoliamo \(m\) come prima ed otteniamo \(m=3\); scriviamo l'equazione del fascio improprio di rette con questo coefficiente angolare$$y=3x+k$$Imponiamo il passaggio per uno dei due punti (ad esempio A)$$2=3(1)+k \ \rightarrow \ k=-1$$e scriviamo infine l'equazione sostituendo in quella del fascio il valore di k appena calcolato$$y=3x-1$$




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