Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Equazione generale della retta


Vogliamo in questa pagina mostrare che ogni equazione lineare in due incognite rappresenta una retta nel piano cartesiano ed inoltre che l'equazione generica $$ax+by+c=0$$ al variare dei coefficienti \( (a,b,c) \) rappresenta tutte le rette del piano.
Per fare ciò basta considerare i coefficienti ed i valori che possono assumere.

Cominciamo con l'osservare il caso in cui risultino tutti e tre nulli; in questo caso l'equazione generale diventa l'identità \( 0=0 \) e sarà quindi soddisfatta per ogni coppia di numeri reali; la sua rappresentazione sul piano cartesiano non sarà dunque una retta ma il piano stesso.

Allo stesso modo se i coefficienti \(a \) e \(b\) fossero nulli mentre il terzo fosse diverso da zero si otterrebbe una uguaglianza falsa \( ( c=0 ) \) e quindi non rappresenterebbe nessun punto su di un piano cartesiano.

I casi che ci interessano sono quelli quando almeno uno tra i coefficienti delle variabili sia non nullo; vediamo le possibili alternative:

\( a=0 \ , \ b\neq0 \)

In questo caso l'equazione diventa$$by+c=0 \ \rightarrow \ y=-\frac{c}{b} $$ Paragoniamo questa equazione a quella esplicita della retta \( y=mx+q \) e notiamo che essa equivale all'equazione di una retta, scritta in forma esplicita, con coefficiente angolare nullo e quindi al variare dei coefficienti \(c \) e \( b \) rappresenta tutte le rette parallele all'asse x; in particolare se risulta \( c=0\) si ha l'equazione dell'asse delle x cioè \(y=0\).

\( b=0 \ , \ a\neq0 \)

In questo caso l'equazione diventa$$ax+c=0 \ \rightarrow \ x=-\frac{c}{a} $$ A differenza del caso precedente questa equazione rappresenta, al variare dei coefficienti, tutte le rette parallele all'asse delle y ed in particolare per \(c=0\) rappresenta proprio l'equazione dell'asse delle y.

\( b\neq0 \ , \ a\neq0 \)

In questo caso visto che il coefficiente \( b \) è diverso da zero possiamo dividere ambo i membri dell'equazione per esso ed ottenere $$y+\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}=0$$ Portiamo tutti i termini tranne y a destra dell'uguale $$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$ Confrontiamo questa equazione con quella esplicita della retta e notiamo che rappresenta l'equazione di una retta di coefficiente angolare \(m=-\frac{a}{b} \) e ordinata all'origine \( q=-\frac{c}{b} \); rappresenta quindi ogni retta non parallela agli assi. Nel caso in cui risultasse \(c=0\) si avrebbe l'equazione $$y=-\frac{a}{b}x$$ che rappresenta, al variare dei coefficienti, tutte le rette passanti per l'origine degli assi.


In definitiva abbiamo ottenuto che l'equazione \(ax+by+c=0\) , al variare dei coefficienti, rappresenta tutte le rette del piano ed è per questo che viene chiamata equazione generale della retta.
Qualora dovessimo rappresentare su un piano cartesiano una retta con l'equazione scritta in forma implicita avremmo a disposizione due strade:
La prima è ricavare l'equazione in forma implicita e poi ricavare due punti sostituendo ad x due valori diversi e calcolando le rispettive ordinate.
La seconda è calcolare l'intersezione tra la retta e gli assi cartesiani ponendo l'equazione a sistema una volta con l'equazione \(x=0\) (asse y) ed una volta con \(y=0\) ottenendo anche stavolta i due punti necessari per individuare graficamente una retta (per due punti passa una ed una sola retta vedi postulati).

Facciamo adesso alcune considerazioni circa il parallelismo tre due rette con equazione scritta in forma implicita.
Supponiamo siano i tre coefficienti diversi da zero e riscriviamo l'equazione ottenuta: $$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$ Abbiamo visto che due rette per essere parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare quindi prendiamo due rette con equazioni scritte in questa forma ed imponiamo che i coefficienti angolari coincidano.

\(y=-\frac{a_1}{b_1}x-\frac{c_1}{b_1} \)

\(y=-\frac{a_2}{b_2}x-\frac{c_2}{b_2} \)

Poniamo allora \( -\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2} \)
Moltiplichiamo ambo i membri dell'equazione ottenuta per la frazione \( -\frac{b_1}{a_2} \) ed otteniamo $$ -\frac{b_1}{a_2} \cdot (-\frac{a_1}{b_1}) = -\frac{a_2}{b_2} \cdot ( -\frac{b_1}{a_2}) $$ $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$$ Affinché le rette siano parallele devono coincidere i rapporti tra i coefficienti delle stesse variabili; nel caso particolare in cui coincida con essi anche il rapporto tra i termini noti \( (\frac{c_1}{c_2}) \) le due rette coinciderebbero. Quindi due rette per le quali risulta $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$$ non sono parallele quindi sono incidenti, cioè si incontrano in un punto detto punto di intersezione; per trovare questo, come per ogni curva, si mettono a sistema le due equazioni.




Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.