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Distanza di un punto da una retta


Ricordiamo che la distanza tra due entità geometriche è rappresentata dalla lunghezza del segmento più piccolo che unisce le due entità quindi per il punto e la retta sarà data dalla lunghezza del segmento di perpendicolare che va dal punto alla retta stessa perché esso rappresenta il segmento più corto che unisce punto e retta.

Per valutare questa distanza operiamo come abbiamo fatto per calcolare l'equazione del fascio proprio di rette cioè valutiamo prima il caso in cui il punto desiderato sia l'origine, calcoliamo l'equazione in questo punto e poi generalizziamo utilizzando le formule di traslazione.

distanza di una retta dall'origine degli assi

distanza di una retta dall'origine
Consideriamo una retta r come in figura che non sia passante per l'origine (in tal caso la distanza sarebbe 0) e chiamiamo A e B i punti in cui questa retta incontra gli assi cartesiani. Consideriamo il triangolo \(AOB\) rettangolo in \(O\) e tracciamo l'altezza \( \overline{OH} \) relativa all'ipotenusa; quest'ultima rappresenta il segmento di perpendicolare che unisce la retta all'origine degli assi e quindi vogliamo scrivere una equazione che ci consenta di calcolarne la lunghezza. A tal fine uguagliamo i valori dell'area del triangolo calcolati una volta tramite i cateti ed un'altra attraverso l'ipotenusa e l'altezza ad essa relativa.
Osserviamo che le lunghezze dei cateti non sono altro che le intercette all'origine della retta; per calcolarle dobbiamo quindi valutare le intersezioni tra la retta e gli assi. Supponiamo di avere l'equazione della retta in forma implicita cioè $$ax+by+c=0$$Le sue intersezioni con gli assi saranno:
- con l'asse x $$ \left\{\begin{matrix}ax+by+c=0 \\ y=0 \end{matrix}\right.$$ $$ax=-c \ \rightarrow \ x=-\frac{c}{a}$$ Quindi \( \overline{OB}=|-\frac{c}{a}| \)

-con l'asse y $$ \left\{\begin{matrix}ax+by+c=0 \\ x=0 \end{matrix}\right.$$ $$by=-c \ \rightarrow \ y=-\frac{c}{b}$$ Quindi \( \overline{AO}=|-\frac{c}{b}| \)


Grazie al teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza dell'ipotenusa $$\overline{AB}=\sqrt{(\overline{AO})^2+(\overline{OB})^2}=\sqrt{(-\frac{c}{b})^2+(-\frac{c}{a})^2}=$$ $$=\sqrt{\frac{c^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2b^2}}=$$ $$=|\frac{c}{ab}| \cdot \sqrt{a^2+b^2}$$ Adesso uguagliamo le due aree $$\frac{\overline{AB} \cdot \overline{OH}}{2}=\frac{\overline{AO} \cdot \overline{OB}}{2}$$ $$\overline{AB} \cdot \overline{OH}=\overline{AO} \cdot \overline{OB}$$ricaviamo \( \overline{OH} \) ottenendo $$\overline{OH}=\frac{\overline{AO} \cdot \overline{OB}}{\overline{AB}}=\frac{|-\frac{c}{b}| \cdot |-\frac{c}{a}|}{|\frac{c}{ab}| \cdot \sqrt{a^2+b^2}}=$$ $$=|\frac{c^2}{ab}| \cdot |\frac{ab}{c}| \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ Come abbiamo già detto l'altezza del triangolo relativa all'ipotenusa rappresenta proprio la distanza tra l'origine e la retta e quindi detta \(d\) questa distanza si ha$$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$cioè la distanza di una retta, con equazione scritta in forma implicita, dall'origine degli assi è uguale al rapporto tra il modulo del termine noto e la radice della somma dei quadrati dei coefficienti delle variabili.


distanza di una retta da un punto generico

distanza di un punto da una retta
Consideriamo un sistema di assi cartesiani \(Oxy\), una retta \(r\) di equazione \(a_1x+b_1y+c_1=0 \) e un punto \( P(x_0;y_0) \); prendiamo un nuovo sistema di riferimento \( O'XY \) traslato rispetto al precedente in modo da far coincidere l'origine \( O' \) con il punto \( P \). Scriviamo l'equazione della retta vista in questo nuovo sistema di riferimento applicando le equazioni di traslazione che sono

\( \left\{\begin{matrix}x=X+x_0 \\ y=Y+y_0 \end{matrix}\right. \)

all'equazione della retta r scritta in forma implicita \(a_1x+b_1y+c_1=0\) $$a_1(X+x_0)+b_1(Y+y_0)+c_1=0$$ $$a_1X+a_1x_0+b_1Y+b_1y_0+c_1=0$$ $$a_1X+b_1Y +a_1x_0+b_1y_0+c_1=0$$ Essendo \( x_0 \ \ e \ \ y_0 \) due numeri si ha che gli ultimi tre monomi del primo membro dell'equazione fanno tutti parte del termine noto. Osserviamo adesso che nel sistema di riferimento\(O'XY\) la distanza della retta dall'origine vale $$ d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ In questo caso abbiamo:
\( a=a_1\)
\( b=b_1\)
\( c=a_1x_0+b_1y_0+c_1\)

Quindi la distanza diventa $$ d=\frac{|a_1x_0+b_1y_0+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}$$ cioè la distanza tra un punto ed una retta, con equazione scritta in forma implicita, equivale al rapporto tra il primo membro dell'equazione della retta dove si sostituiscono alle variabili le coordinate del punto e la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti \( a_1 \ \ e \ \ b_1 \) dell'equazione della retta.


Calcolare la distanza tra il punto \( P(2;3) \) e la retta \(3y+4x-7=0\).
Applichiamo semplicemente la formula ed otteniamo $$d=\frac{|4\cdot2+3\cdot3-7|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|8+9-7|}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$$



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