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Algebra

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Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

IL Piano cartesiano


Prima di introdurre il piano cartesiano dobbiamo dare qualche definizione.

Si definisce retta orientata, una retta sulla quale è fissato un verso di percorrenza come positivo

Ciò significa che presi due punti A e B sulla retta orientata il segmento \( \vec{AB} \) è positivo se il verso di percorrenza della retta è quello che va da A verso B, mentre è negativo se il verso di percorrenza è opposto; in particolare se il segmento \( \vec{AB} \) è positivo il segmento \( \vec{AB} \) è negativo. I due segmenti si dicono opposti.

Prendiamo sulla retta un punto fisso O che chiameremo origine in modo che tutti gli altri punti P della retta sono individuati dal segmento \( \vec{OP} \) che ha origine nel punto O (punto di origine della retta) ed estremo nel punto P considerato.
Consideriamo adesso sulla retta anche una unità di misura u (segmento arbitrario considerato unitario cioè di valore 1) in modo che rapportando ogni segmento \( \vec{OP} \) a questo segmento unitario otteniamo la lunghezza del segmento stesso e quindi la distanza del punto P dall'origine O. Quindi ad ogni punto P associamo un numero reale \( x=\frac{\vec{OP}}{\vec{u}} \) che sarà positivo se P si trova dopo O, secondo il verso di percorrenza scelto per la retta, negativo se P precede O.
Questo valore x chiamiamolo ascissa del punto P e la retta si chiamerà asse delle ascisse.
In questo modo abbiamo stabilito una funzione biunivoca tra l'insiemi dei numeri reali e l'asse delle ascisse.

\(x_a=\frac{ \overline{OA}}{u}=-2 \) perché due volte l'unità di misura e rivolto nel verso opposto all'orientamento della retta;

\(x_b=\frac{ \overline{OB}}{u}= +3\) perché 3 volte l'unità di misura e rivolto secondo l'orientamento della retta.

Per poter operare con le ascisse dei punti della retta introduciamo una proprietà dei segmenti della retta nota come identità di Chasles.

Identità di Chasles

Dati tre punti A,B e C appartenenti ad una stessa retta orientata, è verificata l'uguaglianza \( \overline{AB}= \overline{AC}+ \overline{CB} \) dove indichiamo con \( \overline{AB} \) la lunghezza presa col suo segno del segmento \( \vec{AC} \).

Infatti sulla prima retta è palese che essendo consecutivi i segmenti \( \vec{AC} \textrm{ e } \vec{CB} \) vale l'uguaglianza; vediamo che vale anche sulla seconda retta. Su essa vale \( \overline{BC}= \overline{BA}+ \overline{AC} \) ma ricordiamo che \( \overline{BA}=-\overline{AB} \) e \( \overline{BC}=-\overline{CB} \) e quindi
\( -\overline{CB}= -\overline{AB}+ \overline{AC} \\ \overline{AB}= \overline{CB}+ \overline{AC} \) C.V.D.

Definiamo adesso il concetto di distanza tra due punti e punto medio del segmento.


distanza tra due punti su una retta

Considerata una retta orientata di origine O prendiamo su di essa due punti A e B di ascisse \( x_a \textrm{ e } x_b \) definiamo distanza tra i punti A e B il modulo della differenza \( x_b-x_a \) cioè$$| \overline{AB} | = | x_b-x_a |$$.

\( | \overline{AB} |=| \overline{AO}+\overline{OB}|=|-\overline{OA}+\overline{OB}|=|\overline{OB}-\overline{OA}|=|x_b-x_a| \).

punto medio di un segmento

Consideriamo la retta orientata con l'origine fissata in O e due punti A e B, indichiamo con M il punto medio di \( \vec{AB} \); il punto M ha ascissa pari alla media tra le ascisse cioè \( x_m=\frac{x_b+x_a}{2} \)

Se il punto M è medio del segmento \( \vec{AB} \) allora si ha \( \overline{AM}=\overline{MB} \). Scriviamo \( \overline{AM}=\overline{OM}-\overline{OA}\) e \( \overline{MB}=\overline{OB}-\overline{OM}\) quindi abbiamo$$\overline{OM}-\overline{OA}=\overline{OB}-\overline{OM}$$sostituendo le ascisse$$x_m-x_a=x_b-x_m \\ 2x_m=x_b+x_a \\ x_m=\frac{x_b+x_a}{2}$$

Piano cartesiano

Consideriamo adesso due rette orientate, ortogonali tra di loro e che si incontrano nei rispettivi punti di origine; consideriamo inoltre di avere come unità di misura lo stesso segmento unitario per entrambe le rette ( sistema monometrico cioè con la stessa metrica su entrambi gli assi ). Supponiamo che le due rette siano una orizzontale ed orientata verso destra e l'altra verticale ed orientata verso l'alto, chiamiamo la prima asse delle ascisse e la seconda asse delle ordinate.
Questi due assi individuano un piano chiamato piano cartesiano.
Consideriamo adesso un generico punto P del piano; tracciamo da esso la parallela all'asse delle ascisse ( asse delle x ) fino ad incontrare l'asse delle ordinate in \( P_y \) e la parallela all'asse delle ordinate ( asse delle y ) fino ad incontrare l'asse delle ascisse in \( P_x \). Indichiamo con \( x_P \) l'ascissa del punto \( P_x \) e con \( y_P \) l'ordinata del punto \( P_y \) ( l'ordinata è definita sull'asse delle y allo stesso modo di come è definita l'ascissa sull'asse delle x ); allora ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri reali detti coordinate del punto. Viceversa ogni coppia ordinata di punti porta ad individuare un solo punto del piano se utilizzati come ascissa ed ordinata dello stesso; infatti chiamati \( x_P \textrm{ e } y_P \) i due numeri individuiamo sull'asse delle ascisse il punto \( P_x \) tale che la sua ascissa valga \( x_P \) e sull'asse delle ordinate si prenda il punto \( P_y \) tale che la sua ordinata sia pari a \(y_P \) . Tracciamo la parallela all'asse delle x passante per \( P_y \) e la parallela all'asse delle y passante per \( P_x \); esse si incontrano in un punto P di coordinate \( ( x_P;y_P ) \). Abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali; questo sistema per la rappresentazione dei punti del piano è detto sistema di coordinate cartesiane ortogonali.
Gli assi di questo sistema dividono il piano in quattro parti dette quadranti:
- il primo quadrante è quello in alto a destra ed è caratterizzato da punti che hanno ascissa ed ordinata positiva;
- il secondo quadrante, in alto a sinistra, è costituito dai punti con ascissa negativa ed ordinata positiva;
- il terzo quadrante è quello in basso a sinistra ed è costituito dai punti con ascissa ed ordinata negative;
- il quarto quadrante, in basso a destra, è costituito dai punti con ascissa positiva ed ordinata negativa.
In particolare i punti appartenenti all'asse delle ordinate hanno la caratteristica di avere l'ascissa nulla mentre quelli appartenenti all'asse delle ascisse hanno ordinata nulla; l'origine degli assi, appartenendo ad entrambi gli assi, avrà sia ascissa che ordinata nulle.

Distanza tra due punti

Consideriamo due punti del piano cartesiano \( A(x_A;y_A) \textrm{ e }B(x_B;y_B) \)e calcoliamo la loro distanza, cioè la lunghezza del segmento \( \overline{AB} \).
Tracciamo la parallela all'asse x passante per il punto B e la parallela all'asse y passante per il punto A; esse si incontrano in un punto C e formeranno un triangolo rettangolo ABC retto in C (rettangolo perché \( \overline{AC} \textrm{ e } \overline{BC} \) sono paralleli agli assi ortogonali e quindi anche loro ortogonali). Per calcolare il lato AB ci avvaliamo del teorema di Pitagora cioè$$|\overline{AB}|=\sqrt{( \overline{AC} )^2+( \overline{BC} )^2}$$dove per i cateti abbiamo evitato di porre i moduli visto che i valori sono elevati tutti al quadrato e perciò sicuramente positivi. Ricordiamo adesso che \( |\overline{BC}|=|x_B-x_A| \textrm{ e } |\overline{AC}|=|y_C-Y_A| \) perché sono paralleli agli assi e quindi la loro lunghezza è unidimensionale (lungo un solo asse ); sostituendo nella formula precedente otteniamo$$\overline{AB}=\sqrt{( x_B-x_C)^2+( y_A-Y_C )^2}$$dove con \( \overline{AB} \) abbiamo indicato la lunghezza del segmento quindi positiva.
Da adesso in poi, con la linea continua tracciata sopra agli estremi del segmento indicheremo sempre la lunghezza dello stesso \( \overline{AO} \)=lunghezza del segmento \( \vec{AO} \).

Punto medio di un segmento

Consideriamo il segmento di estremi \( A(x_A;y_A) \textrm{ e } B(x_B;y_B) \) ed il suo punto medio \( M(x_M;y_M) \); vogliamo calcolare, note le coordinate degli estremi, le coordinate del punto medio. Tracciamo le parallele agli assi passanti per i tre punti in modo da evidenziare sugli assi stessi le proiezioni di A , B e M; otteniamo i punti \(A_x(x_A;0) , M_X(x_M;0) , B_x(x_B;0) , A_y(0;y_A) , M_y(0;y_M) , B_y(0;y_B) \). Consideriamo il fascio di parallele \( \vec{A_yA} , \vec{M_yM} , \vec{B_yB} \) tagliate dalle trasversali \( \vec{AB} \) e l'asse y; per il Teorema di Talete visto che su \( \vec{AB} \) risulta \( \overline{AM}=\overline{MB} \) perché M è punto medio, sull'asse delle y risulta \( \overline{A_yM_y}=\overline{M_yB_y} \) cioè \( M_y \) è punto medio di \( \vec{A_yB_y} \). Si dimostra in modo simile che \( M_x \) è punto medio di \( \vec{A_xB_x} \). Su un solo asse avevamo già calcolato il valore dell'ascissa del punto medio ed essa era \( x_M=\frac{x_A+x_B}{2} \) ed analogamente varrà sull'asse delle ordinate \( y_M=\frac{y_A+y_B}{2} \); ma \( (x_M;y_M) \) sono anche le coordinate del punto M quindi abbiamo ottenuto che il punto medio di un segmento ha per coordinata x la media delle x degli estremi del segmento e come coordinata y la media delle y degli estremi cioè$$M(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})$$



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