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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Circonferenze secanti e tangenti Fascio di circonferenze Approfondimenti parabola Parabola con asse orizzontale Parabola:sdoppiamento variabili Fascio di parabole Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Fascio di parabole


Per scrivere l'equazione del fascio di parabole partiamo da due equazioni generiche di parabole

\(\delta_1 \ \rightarrow \ y=ax^2+bx+c\)

\(\delta_2 \ \rightarrow \ y=a_1x^2+b_1x+c_1\)

Le scriviamo in forma implicita e poi ne facciamo una combinazione lineare tramite il parametro \(k\) ottenendo $$y-ax^2-bx-c+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0$$ Questa è l'equazione generica di un fascio di parabole; possiamo adesso svolgere i calcoli e poi raggruppare secondo le variabili ottenendo $$y-ax^2-bx-c+ky-ka_1x^2-kb_1x-kc_1=0$$ $$(1+k)y-(a+ka_1)x^2-(b+kb_1)x-(c+kc_1)=0$$Possiamo allora portare il termine con la variabile \(y\) al primo membro e nella condizione in cui risulti \(k\neq-1\) dividere tutto per il binomio \( (1+k) \) ottenendo $$y=\frac{a+ka_1}{1+k}x^2+\frac{b+kb_1}{1+k}x+\frac{c+kc_1}{1+k}$$ Questa equazione se il coefficiente del termine quadratico è diverso da zero rappresenta infinite parabole al variare del parametro \(k\). Le due parabole \(\delta_1 \ \ e \ \ \delta_2\) sono dette parabole generatrici del fascio e mentre la prima è rappresentata dall'equazione del fascio quando poniamo \(k=0\) , la seconda non si ottiene mai, per nessun valore dato al parametro. I punti di intersezione tra le parabole, se ne hanno, generatrici sono detti punti base del fascio in quanto sostituendo le loro coordinate nell'equazione del fascio rendono questa ultima sempre verificata indipendentemente dal parametro \(k\) quindi i punti base appartengono a tutte le parabole del fascio stesso.


Vediamo adesso nel dettaglio cosa questo fascio rappresenta al variare dei coefficienti della sua equazione.
Cominciamo con l'osservare che per ricavare i punti base del fascio dobbiamo porre a sistema le equazioni delle generatrici scrivendo

\(\left\{\begin{matrix} y=ax^2+bx+c \\ y=a_1x^2+b_1x+c_1 \end{matrix}\right.\)

Sottraiamo membro a membro ed otteniamo $$0=ax^2+bx+c-a_1x^2-b_1x-c_1$$ $$(a-a_1)x^2+(b-b_1)x+c-c_1=0$$ Questa ultima è una equazione di secondo grado le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra le parabole cioè le ascisse dei punti base del fascio. Essa ammetterà soluzioni in base al valore del duo discriminante; consideriamo allora i tre casi in cui il discriminante sia rispettivamente negativo, nullo o positivo considerando sempre generatrici con i coefficienti diversi tra loro:

\(\Delta \gt0\)

L'equazione in rosso ammette due soluzioni distinte e quindi le generatrici hanno due punti in comune che saranno anche punti base del fascio; notiamo che appartengono al fascio anche delle parabole degeneri le cui equazioni si ottengono per i \(k\) che annullano i coefficienti del termine quadratico nell'equazione del fascio stesso. Un caso in cui ciò accade è quando scegliamo \(k=-\frac{a}{a_1}\) per il quale risulta $$\frac{a+ka_1}{1+k}=\frac{a-\frac{a}{a_1}a_1}{1-\frac{a}{a_1}}=\frac{a-a}{1-\frac{a}{a_1}}=0$$e quindi l'equazione del fascio diventa $$y=0+\frac{b -\frac{a}{a_1}b_1}{1-\frac{a}{a_1}}x+\frac{c-\frac{a}{a_1}c_1}{1-\frac{a}{a_1}}$$ $$y=\frac{\frac{ba_1-ab_1}{a_1}}{\frac{a_1-a}{a_1}}x +\frac{\frac{ca_1-ac_1}{a_1}}{\frac{a_1-a}{a_1}}$$ $$y=\frac{ba_1-ab_1}{a_1-a}x +\frac{ca_1-ac_1}{a_1-a} $$che rappresenta l'equazione di una retta.

Un altro caso lo troviamo ponendo \( k=-1\) nell'equazione del fascio scritta nella forma $$(1+k)y-(a+ka_1)x^2-(b+kb_1)x-(c+kc_1)=0$$ottenendo $$-(a-a_1)x^2-(b-b_1)x-(c-c_1)=0$$ $$(a-a_1)x^2+(b-b_1)x+c-c_1=0$$che è quella vista prima per il calcolo delle intersezioni; essa allora ha due soluzioni che chiamiamo \(x_A \ \ e \ \ x_B\), quindi per le regole sulla scomposizione dei trinomi di secondo grado ( \(\Delta \lt0\)

L'equazione in rosso non ha soluzioni quindi non vi sono punti base per il fascio; esso rappresenta ancora una volta una parabola degenere in una retta la cui equazione si ottiene ponendo \(k=-\frac{a}{a_1}\) come in precedenza ed ottenendo la medesima equazione $$y=\frac{ba_1-ab_1}{a_1-a}x +\frac{ca_1-ac_1}{a_1-a} $$A nulla serve porre \(k=-1\) poiché l'equazione che otterremmo non rappresenterebbe delle rette non ammettendo soluzioni \( (\Delta \lt 0) \).

\(\Delta =0\)

L'equazione scritta in rosso avendo discriminante nullo ammetterà due soluzioni coincidenti e quindi il fascio di parabole avrà un solo punto base.
Per quanto riguarda le parabole degeneri rappresentate dal fascio esse si otterranno ancora ponendo \(k=-\frac{a}{a_1} \ \ e \ \ k=-1\) nelle rispettive equazioni e mentre con la prima sostituzione otterremo la stessa equazione di sempre, che stavolta sarà tangente ad ogni parabola del fascio, la seconda posizione ci condurrà ancora una volta all'equazione in rosso che ammette adesso due soluzioni coincidenti; detta x_C questo valore, l'equazione può essere scritta $$(a-a_1)(x-x_C)^2=0$$e quindi rappresenta nel piano una curva formata da due rette coincidenti entrambe di equazione \(x=x_C\) e quindi parallele all'asse delle ordinate.

Vediamo adesso i casi in cui uno o più coefficienti sono comuni alle generatrici:

\(a=a_1\)

In questo caso l'equazione per il calcolo delle ascisse dei punti base diventa $$(a-a)x^2+(b-b_1)x+c-c_1=0$$ $$(b-b_1)x+c-c_1=0$$Quindi essendo questa ultima di primo grado, esisterà un solo punto base del fascio di parabole ed apparterrà al fascio anche la parabola degenere la cui equazione si ottiene per \(k=-1\); questa posizione riporta all'equazione scritta sopra che rappresenta nel piano una retta parallela all'asse delle ordinate passante per il punto base.
Osserviamo pure che l'equazione del fascio, per \(a=a_1\) diventa $$y=\frac{a+ka}{1+k}x^2+\frac{b+kb_1}{1+k}x+\frac{c+kc_1}{1+k}$$ponendo in evidenza \(a\) al numeratore del primo termine e semplificando si ottiene $$y=ax^2+\frac{b+kb_1}{1+k}x+\frac{c+kc_1}{1+k}$$Ciò significa che tutte le parabole del fascio hanno lo stesso coefficiente del termine quadratico e quindi la concavità rivolta tutte dalla stessa parte e la "stessa apertura" cioè sono tutte congruenti.

\(a=a_1 \ , \ b=b_1\)

Il fascio non ha punti base e non contiene parabole degeneri infatti l'equazione per il calcolo dei punti base diventa \(c-c_1=0\) che nella condizione che stiamo valutando non ammette soluzioni.
Inoltre l'equazione del fascio diventa $$y=\frac{a+ka}{1+k}x^2+\frac{b+kb}{1+k}x+\frac{c+kc_1}{1+k}$$ $$y=ax^2+bx+\frac{c+kc_1}{1+k}$$Cioè tutte le parabole hanno stesso coefficiente \(a\) e \(b\) ; questo significa che le parabole hanno stessa apertura, concavità rivolta allo stesso modo e lo stesso asse di simmetria visto che la sua equazione è \(x=-\frac{b}{2a}\) e quindi non dipenderà dal \(k\) scelto.

\(a=a_1 \ , \ b=b_1 \ , \ c=c_1 \)

Le generatrici sono identiche e quindi non possono generare nessun fascio di parabole infatti la sua equazione diviene $$y=\frac{a+ka}{1+k}x^2+\frac{b+kb}{1+k}x+\frac{c+kc}{1+k}$$ $$y=ax^2+bx+c$$Che è l'equazione di una unica parabola.


Ulteriori equazioni per il fascio di parabole

Consideriamo due punti \(A(x_A;y_A) \) e \(B(x_B;y_B) \) , calcoliamo l'equazione della retta passante per questi due punti \(y=m_0x+q_0\) dove abbiamo posto il pedice \(_0\) per mostrare che sono valori e non variabili; prendiamo l'equazione $$y=m_0x+q_0+k(x-x_1)(x-x_2)$$e mostriamo che essa rappresenta l'equazione del fascio di parabole passanti per due punti.
Essa di sicuro rappresenta l'equazione di un fascio di parabole infatti svolgendo i calcoli e raggruppando le variabili con lo stesso grado otteniamo una forma identica a quella generale della parabola tranne che per i coefficienti; inoltre osserviamo che l'equazione è soddisfatta dalle coordinate dei punti \(A \ \ e \ \ B\) infatti il termine \(k(x-x_1)(x-x_2)\) si annullerebbe e rimarrebbe l'equazione \(y=m_0x+q_0\) che per come è stata costruita sarà soddisfatta nei due punti. Quindi ogni parabola indicata dall'equazione del fascio passa per i due punti che sono quindi i punti base del fascio stesso.

Supponiamo adesso di volere scrivere l'equazione del fascio di parabole tangenti in un punto \(P\) ad una retta data; l'equazione che fa al caso nostro è $$y=m_0x+q_0+k(x-x_P)^2$$dove \(y=m_0+q_0\) è l'equazione della retta a cui \(P\) appartiene. Come per l'equazione precedente anche questa indica certamente delle parabole ed inoltre tutte le parabole sono tangenti alla retta nel punto \(P\); infatti mettendo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione della retta e sottraendo membro a membro si avrebbe $$k(x-x_P)^2=0$$che ammette due soluzioni reali e coincidenti \(x=x_P\) per qualsiasi valore di \(k\) e quindi la retta e la generica equazione del fascio sono tangenti in \(P\).

Infine indichiamo l'equazione del fascio di parabole con asse verticale e vertice \(V(x_0;y_0) \) assegnato: $$y-y_0=k(x-x_0)^2$$ Questa equazione si ricava infatti ponendo in quella precedente la condizione che la retta a cui le parabole sono tangenti sia parallela all'asse x e di equazione \(y=y_0\).



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