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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Circonferenze secanti e tangenti Fascio di circonferenze Approfondimenti parabola Parabola con asse orizzontale Parabola:sdoppiamento variabili Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Sdoppiamento delle variabili per la parabola


In questa pagina dimostreremo la formula di sdoppiamento delle variabili relativa alla parabola che può essere usata per determinare l'equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto. Partiamo con il considerare l'equazione generale di una parabola che è del tipo $$y=ax^2+bx+c$$Consideriamo un punto \(P\) della parabola di coordinate \( (x_0;y_0) \) ; l'equazione della parabola è sicuramente soddisfatta in \(p\) perché esso le appartiene e quindi sostituendo alle variabili le coordinate del punto si ha $$y_0=ax_0^2+bx_0+c$$oppure$$ax_0^2+bx_0+c-y_0=0$$in cui sono tutti numeri. Quindi poiché la quantità al primo membro vale zero, la posso sottrarre all'equazione generale della parabola senza che ne cambi le soluzioni $$y=ax^2+bx+c-(ax_0^2+bx_0+c-y_0)$$porto y_0 al primo membro e riorganizzo il secondo membro per gradi $$y-y_0=ax^2-ax_0^2+bx-bx_0+c-c$$metto ora in evidenza i coefficienti dove possibile $$y-y_0=a(x^2-x_0^2)+b(x-x_0)$$Scompongo il binomio \( (x^2-x_0^2) \) come differenza di quadrati ed ottengo $$y-y_0=a(x-x_0)(x+x_0)+b(x-x_0)$$

Adesso considero l'equazione del fascio proprio di rette passanti per il punto \(P\) $$y-y_0=m(x-x_0)$$e noto che ha lo stesso primo membro della precedente e quindi posso eguagliare i secondi membri delle due equazioni ottenendo $$m(x-x_0)=a(x-x_0)(x+x_0)+b(x-x_0)$$dividiamo adesso per \( (x-x_0) \) ambo i membri $$m=a(x+x_0)+b$$ Questa relazione deve essere verificata per \(x=x_0\) e quindi otteniamo $$m=a(x_0+x_0)+b=2ax_0+b$$ Sostituiamo questo \(m\) nell'equazione del fascio proprio $$y-y_0=(2ax_0+b)(x-x_0)$$ Svolgiamo i calcoli $$y-y_0=2axx_0+bx-2ax_0^2-bx_0$$Riconsideriamo l'equazione della parabola nel punto \(P\) vista all'inizio e ricaviamo da essa il termine\( ax_0^2\) $$ax_0^2=y_0-bx_0-c$$Sostituiamo questo valore nell'equazione precedente ed otteniamo $$y-y_0=2axx_0+bx-2(y_0-bx_0-c)-bx_0$$ $$y-y_0=2axx_0+bx-2y_0+2bx_0+2c-bx_0$$ $$y-y_0+2y_0=2axx_0+bx+bx_0+2c$$ $$y+y_0=2axx_0+b(x+x_0)+2c$$Dividiamo tutto per \(2\) $$\frac{y+y_0}{2}=axx_0+\frac{b}{2}(x+x_0)+c$$ Questa è la formula di sdoppiamento delle variabili relativa alla parabola; per scrivere l'equazione della tangente alla parabola in un suo punto basta sostituire in questa formula i valori \(x_0 \ \ e \ \ y_0 \) con le coordinate del punto ed i coefficienti \( a,b \) e \(c\) con i rispettivi coefficienti dell'equazione della parabola.




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