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Algebra

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Sdoppiamento delle variabili per la parabola


La teoria generale riguardo al calcolo dei punti di intersezione tra parabola e retta è stata esaminata nel programma del secondo anno e puoi trovarla alla pagina Intersezione parabola-retta

In questa pagina dimostreremo la formula di sdoppiamento delle variabili relativa alla parabola che può essere usata per determinare l'equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto. Partiamo con il considerare l'equazione generale di una parabola che è del tipo $$y=ax^2+bx+c$$Consideriamo un punto \(P\) della parabola di coordinate \( (x_0;y_0) \) ; l'equazione della parabola è sicuramente soddisfatta in \(p\) perché esso le appartiene e quindi sostituendo alle variabili le coordinate del punto si ha $$y_0=ax_0^2+bx_0+c$$oppure$$ax_0^2+bx_0+c-y_0=0$$in cui sono tutti numeri. Quindi poiché la quantità al primo membro vale zero, la posso sottrarre all'equazione generale della parabola senza che ne cambi le soluzioni $$y=ax^2+bx+c-(ax_0^2+bx_0+c-y_0)$$porto y_0 al primo membro e riorganizzo il secondo membro per gradi $$y-y_0=ax^2-ax_0^2+bx-bx_0+c-c$$metto ora in evidenza i coefficienti dove possibile $$y-y_0=a(x^2-x_0^2)+b(x-x_0)$$Scompongo il binomio \( (x^2-x_0^2) \) come differenza di quadrati ed ottengo $$y-y_0=a(x-x_0)(x+x_0)+b(x-x_0)$$

Adesso considero l'equazione del fascio proprio di rette passanti per il punto \(P\) $$y-y_0=m(x-x_0)$$e noto che ha lo stesso primo membro della precedente e quindi posso eguagliare i secondi membri delle due equazioni ottenendo $$m(x-x_0)=a(x-x_0)(x+x_0)+b(x-x_0)$$dividiamo adesso per \( (x-x_0) \) ambo i membri $$m=a(x+x_0)+b$$ Questa relazione deve essere verificata per \(x=x_0\) e quindi otteniamo $$m=a(x_0+x_0)+b=2ax_0+b$$ Sostituiamo questo \(m\) nell'equazione del fascio proprio $$y-y_0=(2ax_0+b)(x-x_0)$$ Svolgiamo i calcoli $$y-y_0=2axx_0+bx-2ax_0^2-bx_0$$Riconsideriamo l'equazione della parabola nel punto \(P\) vista all'inizio e ricaviamo da essa il termine\( ax_0^2\) $$ax_0^2=y_0-bx_0-c$$Sostituiamo questo valore nell'equazione precedente ed otteniamo $$y-y_0=2axx_0+bx-2(y_0-bx_0-c)-bx_0$$ $$y-y_0=2axx_0+bx-2y_0+2bx_0+2c-bx_0$$ $$y-y_0+2y_0=2axx_0+bx+bx_0+2c$$ $$y+y_0=2axx_0+b(x+x_0)+2c$$Dividiamo tutto per \(2\) $$\frac{y+y_0}{2}=axx_0+\frac{b}{2}(x+x_0)+c$$ Questa è la formula di sdoppiamento delle variabili relativa alla parabola; per scrivere l'equazione della tangente alla parabola in un suo punto basta sostituire in questa formula i valori \(x_0 \ \ e \ \ y_0 \) con le coordinate del punto ed i coefficienti \( a,b \) e \(c\) con i rispettivi coefficienti dell'equazione della parabola.




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