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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Intersezione tra una parabola ed una retta


Trovare i punti di intersezione tra una parabola ed una retta significa trovare le coppie di valori (x;y) che soddisfano contemporaneamente l'equazione della parabola e della retta; questo equivale a mettere a sistema le due equazioni e trovarne la soluzione.$$\left\{\begin{matrix} y=mx+q\\ y=ax^2+bx+c \end{matrix}\right.$$In particolare si ha che:
  • se il sistema ammette due soluzioni distinte la retta è secante alla parabola cioè la tocca in due punti distinti.
  • se il sistema ammette due soluzioni coincidenti la retta è tangente alla parabola cioè la tocca in un solo punto; caso particolare è quello delle rette parallele all'asse y che pur non essendo tangenti alla parabola, la toccano sempre in un solo punto infatti la loro equazione è del tipo x=k dove k è un numero reale e quindi sostituito questo valore al posto di x nell'equazione della parabola otteniamo un solo valore per la y
  • se il sistema non ammette soluzioni la retta è esterna alla parabola cioè non la tocca in nessun punto

Condizioni per la determinazione dell'equazione della parabola


Consideriamo l'equazione generale di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y$$y=ax^2+bx+c$$notiamo che sono presenti tre parametri e quindi per individuarli univocamente abbiamo bisogno che ci siano comunicate alcune caratteristiche convertibili in tre equazioni che messe a sistema ci restituiscano univocamente il valore di a , b e c.
Osserviamo quali possono essere queste caratteristiche ed il loro valore in termini di equazioni:

la parabola passa per un punto; imponiamo questo passaggio sostituendo ad x e y le coordinate del punto ottenendo una equazione di primo grado in tre incognite a, b e c.

esempio

la parabola passa per il punto \( (x_0;y_0) \) si traduce nell'equazione $$y_0=ax_0^2+bx_0+c$$ la parabola è tangente ad una retta; significa che il sistema tra equazione della retta ed equazione della parabola ammette due soluzioni coincidenti cioè esplicitata l'equazione della retta rispetto ad y e sostituito il valore nell'equazione della parabola quest'ultima si trasforma in una equazione di secondo grado in x e deve avere due soluzioni coincidenti quindi il suo determinante deve essere nullo.

esempio

la parabola è tangente alla retta y=mx+q dove m e q sono numeri reali; scriviamo il sistema$$\left\{\begin{matrix} y=mx+q\\ y=ax^2+bx+c \end{matrix}\right.$$sostituiamo il valore di y ottenuto dalla prima equazione nella seconda ottenendo$$mx+q=ax^2+bx+c \\ ax^2+(b-m)x+c-q=0$$questa equazione deve ammettere due soluzioni reali e coincidenti quindi deve risultare nullo il discriminante$$\Delta=0 \\ (b-m)^2-4a(c-q)=0$$Questa è la relazione cercata.



la parabola ha vertice in un punto dato; questa informazione equivale a due equazioni ricavabili dalle coordinate del vertice espresse in funzione dei coefficienti dell'equazione.

esempio

la parabola ha vertice in \( (x_0;y_0) \) allora ricordando che il vertice di una parabola ha coordinate \( (-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}) \) scriviamo le due equazioni che cerchiamo$$-\frac{b}{2a}=x_0 \textrm{ e } \frac{-\Delta}{4a}=y_0$$ la parabola ha il fuoco in un punto dato; questa informazione equivale a due equazioni ricavabili dalle coordinate del fuoco espresse in funzione dei coefficienti dell'equazione.

esempio

la parabola ha il fuoco in \( (x_0;y_0) \) allora ricordando che il fuoco di una parabola ha coordinate \( (-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a}) \) scriviamo le due equazioni che cerchiamo$$-\frac{b}{2a}=x_0 \textrm{ e } \frac{1-\Delta}{4a}=y_0$$ la parabola ha la retta direttrice di equazione; questa informazione equivale ad una equazione ricavabile dall'equazione della direttrice scritta in funzione dei coefficienti della parabola.

esempio

la parabola ha la retta direttrice di equazione y=k con k numero reale. L'equazione della direttrice si scrive rispetto ai coefficienti della parabola come \( y=-\frac{1+\Delta}{4a} \) quindi l'equazione cercata è$$-\frac{1+\Delta}{4a}=k \\ \frac{1+\Delta}{4a}=-k$$ Nel momento in cui abbiamo tre equazioni possiamo ricavare l'equazione della parabola.

esercizio

Scriviamo la parabola che ha vertice V nel punto di ascissa 2, passa per il punto P(0;8) ed è tangente alla retta 2x-y=0

Il fatto che il vertice abbia ascissa 2 ci da l'equazione \( -\frac{b}{2a}=2 \).
Dal passaggio della parabola per il punto P ricaviamo$$8=a(0)^2+b(0)+c \rightarrow c=8$$ Dalla condizione di tangenza sappiamo che il sistema retta parabola ammette due soluzioni identiche; scriviamo allora il sistema$$\left\{\begin{matrix} y=2x \\ y=ax^2+bx+c \end{matrix}\right.$$sostituiamo 2x ad y nella seconda ed imponiamo il determinante dell'equazione che ne risulta uguale a zero$$2x=ax^2+bx+c \\ ax^2+(b-2)x+c=0 \\ \Delta= (b-2)^2-4ac=0$$Poniamo adesso a sistema queste tre equazioni $$\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=2 \\ c=4 \\ (b-2)^2-4ac=0 \end{matrix}\right.$$Ricaviamo dalla prima il valore di a e poi sostituiamo nella terza i valori di a e c in modo da lasciare una equazione di secondo grado in b$$\left\{\begin{matrix}-b=4a \rightarrow a=-\frac{b}{4} \\ c=4 \\ (b-2)^2-4(-\frac{b}{4})(8)=0 \end{matrix}\right.$$risolviamo la terza equazione$$(b-2)^2-4(-\frac{b}{4})(4)=0 \\ b^2+4-4b+8b=0 \\ b^2+4+4b=0 \rightarrow (b+2)^2=0$$che ammette la soluzione b=-2; il sistema ammetterà allora la soluzione$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{-2}{4} & \rightarrow a=\frac{1}{2} \\ c=8 \\ b=-2 \end{matrix}\right.$$e l'equazione della parabola con le caratteristiche imposte sarà$$y=\frac{1}{2}x^2-2x+8$$



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