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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Intersezione tra una parabola ed una retta


Trovare i punti di intersezione tra una parabola ed una retta significa trovare le coppie di valori (x;y) che soddisfano contemporaneamente l'equazione della parabola e della retta; questo equivale a mettere a sistema le due equazioni e trovarne la soluzione.$$\left\{\begin{matrix} y=mx+q\\ y=ax^2+bx+c \end{matrix}\right.$$In particolare si ha che:
  • se il sistema ammette due soluzioni distinte la retta è secante alla parabola cioè la tocca in due punti distinti.
  • se il sistema ammette due soluzioni coincidenti la retta è tangente alla parabola cioè la tocca in un solo punto; caso particolare è quello delle rette parallele all'asse y che pur non essendo tangenti alla parabola, la toccano sempre in un solo punto infatti la loro equazione è del tipo x=k dove k è un numero reale e quindi sostituito questo valore al posto di x nell'equazione della parabola otteniamo un solo valore per la y
  • se il sistema non ammette soluzioni la retta è esterna alla parabola cioè non la tocca in nessun punto

Condizioni per la determinazione dell'equazione della parabola


Consideriamo l'equazione generale di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y$$y=ax^2+bx+c$$notiamo che sono presenti tre parametri e quindi per individuarli univocamente abbiamo bisogno che ci siano comunicate alcune caratteristiche convertibili in tre equazioni che messe a sistema ci restituiscano univocamente il valore di a , b e c.
Osserviamo quali possono essere queste caratteristiche ed il loro valore in termini di equazioni:

la parabola passa per un punto; imponiamo questo passaggio sostituendo ad x e y le coordinate del punto ottenendo una equazione di primo grado in tre incognite a, b e c.

esempio

la parabola passa per il punto \( (x_0;y_0) \) si traduce nell'equazione $$y_0=ax_0^2+bx_0+c$$ la parabola è tangente ad una retta; significa che il sistema tra equazione della retta ed equazione della parabola ammette due soluzioni coincidenti cioè esplicitata l'equazione della retta rispetto ad y e sostituito il valore nell'equazione della parabola quest'ultima si trasforma in una equazione di secondo grado in x e deve avere due soluzioni coincidenti quindi il suo determinante deve essere nullo.

esempio

la parabola è tangente alla retta y=mx+q dove m e q sono numeri reali; scriviamo il sistema$$\left\{\begin{matrix} y=mx+q\\ y=ax^2+bx+c \end{matrix}\right.$$sostituiamo il valore di y ottenuto dalla prima equazione nella seconda ottenendo$$mx+q=ax^2+bx+c \\ ax^2+(b-m)x+c-q=0$$questa equazione deve ammettere due soluzioni reali e coincidenti quindi deve risultare nullo il discriminante$$\Delta=0 \\ (b-m)^2-4a(c-q)=0$$Questa è la relazione cercata.



la parabola ha vertice in un punto dato; questa informazione equivale a due equazioni ricavabili dalle coordinate del vertice espresse in funzione dei coefficienti dell'equazione.

esempio

la parabola ha vertice in \( (x_0;y_0) \) allora ricordando che il vertice di una parabola ha coordinate \( (-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}) \) scriviamo le due equazioni che cerchiamo$$-\frac{b}{2a}=x_0 \textrm{ e } \frac{-\Delta}{4a}=y_0$$ la parabola ha il fuoco in un punto dato; questa informazione equivale a due equazioni ricavabili dalle coordinate del fuoco espresse in funzione dei coefficienti dell'equazione.

esempio

la parabola ha il fuoco in \( (x_0;y_0) \) allora ricordando che il fuoco di una parabola ha coordinate \( (-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a}) \) scriviamo le due equazioni che cerchiamo$$-\frac{b}{2a}=x_0 \textrm{ e } \frac{1-\Delta}{4a}=y_0$$ la parabola ha la retta direttrice di equazione; questa informazione equivale ad una equazione ricavabile dall'equazione della direttrice scritta in funzione dei coefficienti della parabola.

esempio

la parabola ha la retta direttrice di equazione y=k con k numero reale. L'equazione della direttrice si scrive rispetto ai coefficienti della parabola come \( y=-\frac{1+\Delta}{4a} \) quindi l'equazione cercata è$$-\frac{1+\Delta}{4a}=k \\ \frac{1+\Delta}{4a}=-k$$ Nel momento in cui abbiamo tre equazioni possiamo ricavare l'equazione della parabola.

esercizio

Scriviamo la parabola che ha vertice V nel punto di ascissa 2, passa per il punto P(0;8) ed è tangente alla retta 2x-y=0

Il fatto che il vertice abbia ascissa 2 ci da l'equazione \( -\frac{b}{2a}=2 \).
Dal passaggio della parabola per il punto P ricaviamo$$8=a(0)^2+b(0)+c \rightarrow c=8$$ Dalla condizione di tangenza sappiamo che il sistema retta parabola ammette due soluzioni identiche; scriviamo allora il sistema$$\left\{\begin{matrix} y=2x \\ y=ax^2+bx+c \end{matrix}\right.$$sostituiamo 2x ad y nella seconda ed imponiamo il determinante dell'equazione che ne risulta uguale a zero$$2x=ax^2+bx+c \\ ax^2+(b-2)x+c=0 \\ \Delta= (b-2)^2-4ac=0$$Poniamo adesso a sistema queste tre equazioni $$\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=2 \\ c=4 \\ (b-2)^2-4ac=0 \end{matrix}\right.$$Ricaviamo dalla prima il valore di a e poi sostituiamo nella terza i valori di a e c in modo da lasciare una equazione di secondo grado in b$$\left\{\begin{matrix}-b=4a \rightarrow a=-\frac{b}{4} \\ c=4 \\ (b-2)^2-4(-\frac{b}{4})(8)=0 \end{matrix}\right.$$risolviamo la terza equazione$$(b-2)^2-4(-\frac{b}{4})(4)=0 \\ b^2+4-4b+8b=0 \\ b^2+4+4b=0 \rightarrow (b+2)^2=0$$che ammette la soluzione b=-2; il sistema ammetterà allora la soluzione$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{-2}{4} & \rightarrow a=\frac{1}{2} \\ c=8 \\ b=-2 \end{matrix}\right.$$e l'equazione della parabola con le caratteristiche imposte sarà$$y=\frac{1}{2}x^2-2x+8$$



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