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Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x


Per ricavare questa equazione dobbiamo prima calcolare l'equazione della parabola con vertice nell'origine ed asse di simmetria sull'asse delle ascisse per poi ampliare l'equazione ad una generica parabola con asse di simmetria orizzontale.

parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse
Dobbiamo quindi considerare, come in figura, una retta parallela all'asse \(y\) di equazione \(x=-d\), che sarà la direttrice della parabola, ed un punto \(F\) di coordinate \(F(d;0) \) che ne sarà il fuoco.
ricaviamo le distanze del generico punto \(P(x;y) \) della parabola dal fuoco e dalla direttrice ed eguagliamole.
La distanza dalla direttrice sarà data dalla distanza dall'asse \(y\) più la distanza dell'asse stesso dalla direttrice cioè il valore assoluto della differenza delle ascisse

\( \overline{PA}=|x+d|\)

La distanza fuoco punto, invece, la calcoliamo come distanza tra due punti

\( \overline{PF}=\sqrt{(x-d)^2+(y-0)^2}=\sqrt{y^2+(x-d)^2}\)

Uguagliamo le due distanze $$|x+d|=\sqrt{y^2+(x-d)^2}$$ eleviamo al quadrato $$x^2+d^2+2dx=y^2+x^2+d^2-2dx$$ $$4dx=y^2 \ \ \rightarrow \ \ x=\frac{1}{4d}y^2$$ imponendo \(\frac{1}{4d}=a\) e sostituendo otteniamo $$x=ay^2$$


Quindi abbiamo trovato una equazione simile a quella ottenuta considerando l'asse di simmetria sull'asse delle ordinate, con la sola differenza che le variabili si sono invertite cioè dove vi era la \(x\) ora vi è la \(y\) e viceversa; in particolare abbiamo ottenuto una funzione dove ricaviamo \(x\) rispetto ad \(y\) infatti diversamente non avremmo potuto poiché per ogni x vi sono due y e quindi non può esistere una funzione del tipo \(y=f(x) \) che rappresenti una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle \(x\). Per ricavare l'equazione generica dobbiamo considerare una parabola con vertice in un punto \(V\) diverso dall'origine, considerare un nuovo sistema di riferimento traslato rispetto al primo e con origine nel vertice, dove la parabola ha equazione \( x=ay^2 \) ed applicare le formule della traslazione; in questo modo otteniamo l'equazione della parabola rispetto al sistema iniziale ed anche le coordinate del fuoco e le equazioni di direttrice ed asse di simmetria. Il tutto risulta simile al caso della parabola con asse verticale ma con le variabili invertite; quindi si ha:

\(F(\frac{1-\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}) \)

\(V(-\frac{\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}) \)

\(direttrice \ \rightarrow \ x=-\frac{1+\Delta}{4a} \)

\(asse di simmetria \ \rightarrow \ y=-\frac{b}{2a} \)

Infine per quanto riguarda la concavità avremo che essa sarà rivolta verso le \(x\) positive (destra) quando \(a\gt0\) e rivolta verso le \(x\) negative quando \(a\lt0\).





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