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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Equazione della retta Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Circonferenze secanti e tangenti Fascio di circonferenze Approfondimenti parabola Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Approfondimenti sulla parabola


Ricaviamo in questa pagina, l'equazione della parabola con asse di simmetria verticale sfruttando correttamente le formule per la traslazione degli assi. Consideriamo un piano cartesiano \(Oxy\) ed una parabola con asse verticale e vertice in un punto \(V(x_0;y_0) \), prendiamo adesso un nuovo sistema di riferimento \(O'XY\), traslato rispetto al precedente, con origine degli assi nel vertice della parabola; l'asse della parabola sarà verticale anche in questo nuovo sistema di riferimento ed inoltre la parabola stessa avrà vertice nell'origine degli assi. Quindi nel sistema \(O'XY\) l'equazione della parabola sarà $$Y=aX^2$$ Vogliamo ricavare adesso l'equazione di questa parabola rispetto al sistema \(Oxy\) applicando le formule di traslazione che in questo caso sono

\( \left\{\begin{matrix} x=x_0+X \\ y=y_o+Y \end{matrix}\right. \)

essendo \(x_0 \ \ e \ \ y_0\) le coordinate dell'origine del sistema \(O'XY\) rispetto al sistema di assi cartesiani \(Oxy\). Esplicitiamo il sistema rispetto alle coordinate del nuovo sistema ed otteniamo

\( \left\{\begin{matrix} X=x-x_0 \\ Y=y-y_o \end{matrix}\right. \)

Applichiamo queste trasformazioni all'equazione \(Y=aX^2\) ottenendo $$y-y_0=a(x-x_0)^2$$ Questa è l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e vertice in un punto \( (x_0;y_0) \)


Sviluppiamo adesso i calcoli ed esplicitiamo rispetto alla variabile \(y\): $$y=ax^2-2ax_0x+ax_0^2+y_0$$ Essendo sia \(a\) che \(x_0\) dei numeri possiamo porre
\(b=-2ax_0 \ \ \ e \ \ \ c=ax_0^2+y_0\)
ed ottenere $$y=ax^2+bx+c$$che rappresenta un'altra forma dell'equazione della parabola con vertice in un punto generico ed asse parallelo all'asse delle ordinate. Dalle posizioni fatte possiamo ricavare:

\(b=-2ax_0 \ \rightarrow \ x_0=-\frac{b}{2a}\)

e sostituendo nella seconda otteniamo

\(c=a(-frac{b}{2a})^2+y_0=\frac{b^2}{4a}+y_0\)

da questa equazione ricaviamo y_0 ed otteniamo

\(y_0=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}\)

Osserviamo che il della frazione all'ultimo membro di questa uguaglianza rappresenta il discriminante dell'equazione di secondo grado$$ax^2+bx+c=0$$ che coincide col secondo membro dell'equazione della parabola.
Possiamo quindi scrivere

\(y_0=-\frac{\Delta}{4a}\)

Quindi data una generica equazione nella forma \(y=ax^2+bx+c\) , essa rappresenta una parabola con asse di simmetria verticale e vertice nel punto \(V\) di coordinate $$V(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a})$$ Allo stesso modo applichiamo le formule di trasformazione all'equazione della direttrice ed alle coordinate del fuoco:


La direttrice nel sistema di riferimento \(O'XY\) ha equazione \(Y=-\frac{1}{4a}\) , applicando la traslazione otteniamo $$y-y_0=-\frac{1}{4a}$$ $$y=y_0-\frac{1}{4a}$$ Sostituiamo il valore di \(y_0\) precedentemente calcolato ed otteniamo $$y=-\frac{\Delta}{4a}-\frac{1}{4a}=-\frac{\Delta+1}{4a}$$ che rappresenta l'equazione della direttrice nel sistema di riferimento \(Oxy\).

Per quanto riguarda il fuoco della parabola, esso aveva coordinate \( F(0;\frac{1}{4a}) \) ; applichiamo le formule di traslazione ed otteniamo

\(X_F=x_F-x_0 \ \rightarrow \ 0=x_F-(-\frac{b}{2a}) \ \rightarrow \ x_F=-\frac{b}{2a}\)

\(Y_F=y_F-y_0 \ \rightarrow \ \frac{1}{4a}=y_F-(-\frac{\Delta}{4a}) \ \rightarrow \ y_F=\frac{1}{4a}-\frac{\Delta}{4a}=\frac{1-\Delta}{4a} \)

Quindi le coordinate del fuoco nel sistema di riferimento \(Oxy\) sono$$F(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a})$$ L'asse di simmetria, essendo parallelo all'asse delle ordinate e passante per il fuoco della parabola, avrà equazione$$x=x_F \ \rightarrow \ x=-\frac{b}{2a}$$



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