Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Approfondimenti sulla parabola


Abbiamo già introdotto sommariamente la parabola e la sua equazione in una lezione del secondo anno, perché si era reso necessario per studiare le disequazioni di secondo grado. Quindi per le nozioni introduttive sulla parabola possiamo visitare la pagina Equazione della parabola.
Ricaviamo in questa pagina, l'equazione della parabola con asse di simmetria verticale sfruttando correttamente le formule per la traslazione degli assi. Consideriamo un piano cartesiano \(Oxy\) ed una parabola con asse verticale e vertice in un punto \(V(x_0;y_0) \), prendiamo adesso un nuovo sistema di riferimento \(O'XY\), traslato rispetto al precedente, con origine degli assi nel vertice della parabola; l'asse della parabola sarà verticale anche in questo nuovo sistema di riferimento ed inoltre la parabola stessa avrà vertice nell'origine degli assi. Quindi nel sistema \(O'XY\) l'equazione della parabola sarà $$Y=aX^2$$ Vogliamo ricavare adesso l'equazione di questa parabola rispetto al sistema \(Oxy\) applicando le formule di traslazione che in questo caso sono

\( \left\{\begin{matrix} x=x_0+X \\ y=y_o+Y \end{matrix}\right. \)

essendo \(x_0 \ \ e \ \ y_0\) le coordinate dell'origine del sistema \(O'XY\) rispetto al sistema di assi cartesiani \(Oxy\). Esplicitiamo il sistema rispetto alle coordinate del nuovo sistema ed otteniamo

\( \left\{\begin{matrix} X=x-x_0 \\ Y=y-y_o \end{matrix}\right. \)

Applichiamo queste trasformazioni all'equazione \(Y=aX^2\) ottenendo $$y-y_0=a(x-x_0)^2$$ Questa è l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e vertice in un punto \( (x_0;y_0) \)


Sviluppiamo adesso i calcoli ed esplicitiamo rispetto alla variabile \(y\): $$y=ax^2-2ax_0x+ax_0^2+y_0$$ Essendo sia \(a\) che \(x_0\) dei numeri possiamo porre
\(b=-2ax_0 \ \ \ e \ \ \ c=ax_0^2+y_0\)
ed ottenere $$y=ax^2+bx+c$$che rappresenta un'altra forma dell'equazione della parabola con vertice in un punto generico ed asse parallelo all'asse delle ordinate. Dalle posizioni fatte possiamo ricavare:

\(b=-2ax_0 \ \rightarrow \ x_0=-\frac{b}{2a}\)

e sostituendo nella seconda otteniamo

\(c=a(-frac{b}{2a})^2+y_0=\frac{b^2}{4a}+y_0\)

da questa equazione ricaviamo y_0 ed otteniamo

\(y_0=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}\)

Osserviamo che il della frazione all'ultimo membro di questa uguaglianza rappresenta il discriminante dell'equazione di secondo grado$$ax^2+bx+c=0$$ che coincide col secondo membro dell'equazione della parabola.
Possiamo quindi scrivere

\(y_0=-\frac{\Delta}{4a}\)

Quindi data una generica equazione nella forma \(y=ax^2+bx+c\) , essa rappresenta una parabola con asse di simmetria verticale e vertice nel punto \(V\) di coordinate $$V(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a})$$ Allo stesso modo applichiamo le formule di trasformazione all'equazione della direttrice ed alle coordinate del fuoco:


La direttrice nel sistema di riferimento \(O'XY\) ha equazione \(Y=-\frac{1}{4a}\) , applicando la traslazione otteniamo $$y-y_0=-\frac{1}{4a}$$ $$y=y_0-\frac{1}{4a}$$ Sostituiamo il valore di \(y_0\) precedentemente calcolato ed otteniamo $$y=-\frac{\Delta}{4a}-\frac{1}{4a}=-\frac{\Delta+1}{4a}$$ che rappresenta l'equazione della direttrice nel sistema di riferimento \(Oxy\).

Per quanto riguarda il fuoco della parabola, esso aveva coordinate \( F(0;\frac{1}{4a}) \) ; applichiamo le formule di traslazione ed otteniamo

\(X_F=x_F-x_0 \ \rightarrow \ 0=x_F-(-\frac{b}{2a}) \ \rightarrow \ x_F=-\frac{b}{2a}\)

\(Y_F=y_F-y_0 \ \rightarrow \ \frac{1}{4a}=y_F-(-\frac{\Delta}{4a}) \ \rightarrow \ y_F=\frac{1}{4a}-\frac{\Delta}{4a}=\frac{1-\Delta}{4a} \)

Quindi le coordinate del fuoco nel sistema di riferimento \(Oxy\) sono$$F(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a})$$ L'asse di simmetria, essendo parallelo all'asse delle ordinate e passante per il fuoco della parabola, avrà equazione$$x=x_F \ \rightarrow \ x=-\frac{b}{2a}$$



Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.