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Algebra

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Geometria cartesiana

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Equazione di un luogo geometrico


Riscriviamo come prima cosa la definizione di luogo geometrico del piano già incontrata quando abbiamo parlato della bisettrice di un angolo, dell'asse di un segmento o della circonferenza.

si definisce luogo geometrico piano, l'insieme di tutti i punti del piano che godono di una data proprietà

In particolare la bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell'angolo, l'asse del segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento mentre la circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.

Nel descrivere il piano cartesiano abbiamo stabilito una relazione biunivoca tra le coppie di numeri reali ed i punti del piano individuando quindi il generico punto P del piano con due numeri che rappresentano le distanze dall'asse x e dall'asse y del punto stesso; abbiamo quindi scritto P(x;y) dove x è l'ascissa ed y l'ordinata del punto P.
Sfruttando questa definizione possiamo tradurre una data proprietà dei punti del piano come una relazione algebrica tra le coordinate del punto e la indicheremo con$$F(x;y)=0$$Quindi diremo che un punto del piano \( P(x_0;y_0) \) gode della data proprietà se le sue coordinate soddisfano la relazione cioè si ha$$F(x_0;y_0)=0$$ Generalmente un luogo geometrico si indica con la lettera greca \( \gamma \) (si pronuncia "gamma") e rappresenta quindi l'insieme di tutti i punti del piano per i quali le coordinate soddisfano la relazione \( F(x;y)=0 \) $$\gamma = \{ P(x_0;y_0) \ : \ F(x_0;y_0)=0 \}$$ed inoltre vale l'implicazione$$ P(x_0;y_0) \in \gamma \ \Leftrightarrow \ F(x_0;y_0)=0$$dove il simbolo \( \Leftrightarrow \) si legge "se e solo se" oppure "condizione necessaria e sufficiente".

Un luogo geometrico può essere costituito da nessuno, uno, alcuni o infiniti punti e questo dipende dal tipo di proprietà considerata.


1) il luogo geometrico dei punti del piano per i quali il quadrato dell'ascissa vale -2 sarà formato da nessun valore poiché non esiste un numero reale (l'ascissa è un numero reale) che elevato al quadrato sia negativo; avremmo dovuto scrivere \( F(x;y)=x^2+2=0 \ \rightarrow \ x^2=-2 \ \)impossibile.

2)il luogo geometrico dei punti del piano per i quali risulta \( F(x;y)=\sqrt{-x^2}+2-y=0 \ \rightarrow \ y=\sqrt{-x^2}+2 \); per esistere la radice deve risultare \(-x^2 \geq 0 \ \rightarrow \ x^2 \leq 0\) quindi deve essere solo \(x=0\) e quindi \(y=0+2=2\). Il luogo geometrico è costituito da un solo punto ed esso è P(0;2).


La F può generalmente assumere molte e quindi dare vita ai più disparati luoghi geometrici, ma occupiamoci adesso di quando la F è costituita da un insieme di operazioni matematiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione di radice; in questi casi diremo che l'equazione \(F(x;y)=0 \) è una equazione algebrica ed il luogo geometrico lo chiameremo curva algebrica. Nel caso in cui nella F fossero presenti anche altre operazioni si parlerebbe di equazione e curva trascendente.

La forma più semplice che può assumere la F, dopo quella banale in cui ci da le coordinate di un punto, è quella di un polinomio di primo grado nelle due variabili x ed y. $$F(x;y)=ax+by+c=0$$ Questo luogo sarà rappresentato da una retta a patto che i coefficienti a e b non risultino contemporaneamente uguali a zero.

Vediamo adesso cosa rappresenta una F costituita da un polinomio di secondo grado. $$F(x;y)=ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0$$ Una F di questo tipo può rappresentare una circonferenza, una parabola, una iperbole o una ellisse al variare dei coefficienti; queste figure sono chiamate anche coniche perché ottenibili sezionando con un piano una superficie conica a due falde.
In casi particolari questa forma può anche rappresentare rette o singoli punti; in questo caso parleremo di coniche degenere. Consideriamo una superficie conica a due falde cioè quella di due coni con vertice ed asse in comune e basi opposte ed all'infinito come in figura.
superficie conica a due falde

Possiamo considerare questa figura come generata da una retta che ha un punto fisso, che sarà il vertice della superficie, ed un altro suo punto che ruota su una circonferenza; quindi essa si può considerare come formata da tante rette affiancate che passano per il vertice, queste rette sono dette generatrici. Consideriamo anche un piano e con esso intersechiamo la superficie:

circonferenza o ellisse come sezione conica

La circonferenza si ottiene tagliando una superficie conica con un piano perpendicolare all'asse della superficie e non passante per il vertice della stessa e che incontra tutte le generatrici di una falda; con un piano non perpendicolare all'asse della superficie conica si ottiene una ellisse.
parabola come sezione conica

La parabola si ottiene tagliando una superficie conica con un piano non passante per il vertice della superficie e che incontri tutte le generatrici tranne una di una sola falda.
iperbole come sezione conica

L'iperbole si ottiene tagliando una superficie conica con un piano non passante per il vertice della superficie e che incontri tutte le generatrici tranne due delle due falde.



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