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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Circonferenze secanti e tangenti Fascio di circonferenze Approfondimenti parabola Parabola con asse orizzontale Parabola:sdoppiamento variabili Fascio di parabole Ellisse equazione canonica Ellisse con i fuochi su y Eccentricità di una ellisse Ellisse generale Iperbole equazione canonica Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Equazione canonica dell'iperbole


Diamo per prima cosa la definizione di iperbole come luogo geometrico:

L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali risulta costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Da questa definizione ricaviamo l'equazione di una iperbole che ha i fuochi sull'asse delle x ed equidistanti dall'origine.
iperbole con i fuochi sull'asse delle ascisse
Consideriamo un sistema di assi cartesiani \(Oxy\) e una iperbole che abbia i fuochi sull'asse delle x ed equidistanti dall'origine; indichiamo con \(F_1 \ \ e \ \ F_2\) i due fuochi dell'iperbole, con \(c\) la semidistanza focale cioè la distanza tra i fuochi e l'origine degli assi e consideriamo un generico punto \(P(x;y)\) dell'iperbole. Per la definizione di iperbole come luogo geometrico otteniamo che la differenza tra le lunghezze dei segmenti \(\overline{PF_1} \) e \( \overline{PF_2}\) è costante e quindi scriviamo $$|\overline{PF_1} -\overline{PF_2}|=2a$$ dove abbiamo indicato con \(2a\) il valore costante. Scriviamo queste lunghezze rispetto alle coordinate ricordando che le ascisse dei fuochi sono \(\pm c\) mentre le ordinate nulle
$$|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}|=2a$$ Supponiamo che la prima radice sia maggiore della seconda e quindi possiamo tralasciare il valore assoluto ottenendo $$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$

Portiamo la seconda radice al secondo membro ed eleviamo al quadrato i due membri dell'equazione $$[\sqrt{(x-c)^2+y^2}]^2=[2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}]^2$$ $$(x-c)^2+y^2=4a^2+(x+c)^2+y^2+4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$ $$x^2+c^2-2cx+y^2=4a^2+x^2+c^2+2cx+y^2+4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$Sommiamo algebricamente i termini simili ed isoliamo al primo membro la radice $$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=-4a^2-4cx$$Dividiamo i due membri per 4 ed eleviamo nuovamente al quadrato ottenendo $$[a\sqrt{(x+c)^2+y^2}]^2=(-a^2-cx)^2$$ $$a^2[(x+c)^2+y^2]=a^4+c^2x^2+2a^2cx$$ $$a^2x^2+a^2c^2+2a^2cx+a^2y^2=a^4+c^2x^2+2a^2cx$$ancora una volta sommiamo i termini simili ottenendo $$a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2$$poniamo in evidenza il termine \(-x^2\) al primo membro ed il termine \(-a^2\) al secondo ottenendo $$-x^2(c^2-a^2)+a^2y^2=-a^2(c^2-a^2)$$Cambiamo il segno ai due membri $$x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$$

Consideriamo adesso il triangolo \(PF_2F_1\) e ricordiamo che per ogni triangolo la differenza tra due lati è sempre minore del terzo lato quindi in questo caso scriviamo

\(\overline{PF_2}-\overline{PF_1} \lt \overline{F_1F_2} \)

Il primo membro rappresenta la differenza tra le distanze del punto \(P\) dai fuochi e quindi come deciso all'inizio essa vale \(2a\); il secondo membro è la distanza focale e quindi vale \(2c\). Otteniamo allora la relazione

\(2a \lt 2c \ \rightarrow \ a \lt c \ \rightarrow \ a^2 \lt c^2 \)

Questa relazione garantisce che il binomio \( (c^2-a^2) \) è sempre positivo e quindi possiamo porlo uguale ad una quantità positiva \(b^2\) trasformando l'equazione vista prima in $$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2$$e dividendo i due membri per \(a^2b^2\) $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ Questa è l'equazione dell'iperbole scritta in forma canonica o normale

Abbiamo infatti dimostrato che ogni punto dell'iperbole soddisfa questa equazione e si potrebbe dimostrare che ogni punto che soddisfi questa equazione appartiene all'iperbole.



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