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Algebra

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Equazione canonica dell'iperbole


Diamo per prima cosa la definizione di iperbole come luogo geometrico:

L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali risulta costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Da questa definizione ricaviamo l'equazione di una iperbole che ha i fuochi sull'asse delle x ed equidistanti dall'origine.
iperbole con i fuochi sull'asse delle ascisse
Consideriamo un sistema di assi cartesiani \(Oxy\) e una iperbole che abbia i fuochi sull'asse delle x ed equidistanti dall'origine; indichiamo con \(F_1 \ \ e \ \ F_2\) i due fuochi dell'iperbole, con \(c\) la semidistanza focale cioè la distanza tra i fuochi e l'origine degli assi e consideriamo un generico punto \(P(x;y)\) dell'iperbole. Per la definizione di iperbole come luogo geometrico otteniamo che la differenza tra le lunghezze dei segmenti \(\overline{PF_1} \) e \( \overline{PF_2}\) è costante e quindi scriviamo $$|\overline{PF_1} -\overline{PF_2}|=2a$$ dove abbiamo indicato con \(2a\) il valore costante. Scriviamo queste lunghezze rispetto alle coordinate ricordando che le ascisse dei fuochi sono \(\pm c\) mentre le ordinate nulle
$$|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}|=2a$$ Supponiamo che la prima radice sia maggiore della seconda e quindi possiamo tralasciare il valore assoluto ottenendo $$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$

Portiamo la seconda radice al secondo membro ed eleviamo al quadrato i due membri dell'equazione $$[\sqrt{(x-c)^2+y^2}]^2=[2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}]^2$$ $$(x-c)^2+y^2=4a^2+(x+c)^2+y^2+4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$ $$x^2+c^2-2cx+y^2=4a^2+x^2+c^2+2cx+y^2+4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$Sommiamo algebricamente i termini simili ed isoliamo al primo membro la radice $$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=-4a^2-4cx$$Dividiamo i due membri per 4 ed eleviamo nuovamente al quadrato ottenendo $$[a\sqrt{(x+c)^2+y^2}]^2=(-a^2-cx)^2$$ $$a^2[(x+c)^2+y^2]=a^4+c^2x^2+2a^2cx$$ $$a^2x^2+a^2c^2+2a^2cx+a^2y^2=a^4+c^2x^2+2a^2cx$$ancora una volta sommiamo i termini simili ottenendo $$a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2$$poniamo in evidenza il termine \(-x^2\) al primo membro ed il termine \(-a^2\) al secondo ottenendo $$-x^2(c^2-a^2)+a^2y^2=-a^2(c^2-a^2)$$Cambiamo il segno ai due membri $$x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$$

Consideriamo adesso il triangolo \(PF_2F_1\) e ricordiamo che per ogni triangolo la differenza tra due lati è sempre minore del terzo lato quindi in questo caso scriviamo

\(\overline{PF_2}-\overline{PF_1} \lt \overline{F_1F_2} \)

Il primo membro rappresenta la differenza tra le distanze del punto \(P\) dai fuochi e quindi come deciso all'inizio essa vale \(2a\); il secondo membro è la distanza focale e quindi vale \(2c\). Otteniamo allora la relazione

\(2a \lt 2c \ \rightarrow \ a \lt c \ \rightarrow \ a^2 \lt c^2 \)

Questa relazione garantisce che il binomio \( (c^2-a^2) \) è sempre positivo e quindi possiamo porlo uguale ad una quantità positiva \(b^2\) trasformando l'equazione vista prima in $$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2$$e dividendo i due membri per \(a^2b^2\) $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ Questa è l'equazione dell'iperbole scritta in forma canonica o normale

Abbiamo infatti dimostrato che ogni punto dell'iperbole soddisfa questa equazione e si potrebbe dimostrare che ogni punto che soddisfi questa equazione appartiene all'iperbole.



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