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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Intersezione tra curve


Come abbiamo visto nella pagina precedente, alcune volte è possibile esplicitare l'equazione del luogo geometrico rispetto ad una variabile ottenendo l'equazione di una funzione.$$F(x;y)=0 \ \ \rightarrow \ \ y=f(x)$$ Per poter ottenere questa forma deve risultare che ad ogni x del dominio della funzione corrisponda una sola y del codominio; per questo non è possibile ottenere una forma esplicita da una curva chiusa (ad esempio una circonferenza) visto che per essa esistono sempre due punti che hanno la stessa ascissa. Lo stesso vale per tutte e curve che hanno più di un punto con la stessa ascissa.
Chiameremo la forma \( F(x;y)=0 \) forma implicita dell'equazione, mentre la forma \( y=f(x) \) forma esplicita dell'equazione di una curva.

Intersezione tra curve

Consideriamo adesso due curve, le cui equazioni scritte in forma implicita sono:$$F_1(x;y)=0 \ \ \ \ e \ \ \ \ F_2(x;y)=0$$ Un punto è di intersezione tra le due curve se appartiene ad entrambe le curve e viceversa tutti i punti che appartengono ad entrambe le curve sono di intersezione; quindi si ha $$P(x_0;y_0) \in \gamma_1\cap \gamma_2 \ \Leftrightarrow \ F_1(x_0;y_0)=0 \wedge F_2(x_0;y_0)=0$$ dove con \( \gamma_1 \ \ e \ \ \gamma_2 \) abbiamo indicato i grafici delle due curve (N.B. L'intersezione è tra i grafici non tra le equazioni).


Questo equivale ad affermare che le coordinate del punto P sono soluzioni di entrambe le equazioni e quindi soluzioni del sistema costituito dalle stesse. $$\left\{\begin{matrix} F_1(x;y)=0 \\ F_2(x;y)=0 \end{matrix}\right.$$ Se le equazioni sono scritte in forma esplicita si ha: $$\left\{\begin{matrix} y=f_1(x)\\ y=f_2(x) \end{matrix}\right.$$ Quindi ogni soluzione del sistema è un punto di intersezione tra le curve e viceversa ogni punto di intersezione tra le curve ha coordinate che soddisfano il sistema. Questa definizione ci da lo strumento per ricercare i punti di intersezione tra due o più curve; basta porre le equazioni a sistema e calcolare le coordinate dei punti; in particolare se il sistema risulterà impossibile le due curve non hanno punti di intersezione.


Nel caso particolare in cui il sistema ammetta due soluzioni coincidenti parleremo di punto di tangenza o di contatto tra le due curve.
Ricordiamo che anche una retta è una particolare curva ed in particolare se poniamo a sistema una retta ed una conica il sistema sarà di secondo grado poiché l'equazione della retta è di primo grado e quella della conica è di secondo; ma un sistema di secondo grado ammette al massimo due soluzioni e quindi tra una retta ed una conica ci sono al massimo due punti di intersezione. Per questo motivo le coniche sono anche dette curve di secondo ordine

Possiamo allora dare la definizione di ordine di una curva algebrica:
l'ordine di una curva algebrica rappresenta il massimo numero di punti di intersezione che essa può avere con una retta.
Per le forme polinomiali, l'ordine della curva coincide con il grado del polinomio.



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