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Equazione della retta.


Per il quinto postulato di Euclide si ha che per due punti distinti passa una ed una sola retta; adesso vogliamo associare a questa retta una equazione matematica che ci permetta di individuare tutti e soli i punti della retta e ci consenta anche di disegnarla.
Consideriamo un piano cartesiano ortogonale ed una retta su di esso passante per due punti \( A(x_A;y_A) \textrm{ e } B(x_B;y_B) \). Consideriamo adesso un punto generico P(x;y) sulla retta e tracciamo per A , B e P le rette parallele ad entrambi gli assi. Chiamati C e D i punti di incontro tra la parallela all'asse y passante per P e le parallele all'asse x passanti per A e B e detto E il punto di incontro tra \( \vec{AC} \) e la parallela all'asse y passante per B, consideriamo i triangoli ABE ed ACP; essi sono simili perché hanno i tre angoli uguali ( \( \widehat{PAC} \) in comune, \( \widehat{ACP}= \widehat{AEB} \) perché entrambi retti e quindi anche i terzi angoli uguali ). Questa similitudine non dipende da dove prendo il punto P purché sia sulla retta; ricaviamo dalla similitudine la proporzione $$\overline{PC}:\overline{AC}=\overline{BE}:\overline{AE}$$passiamoo alle coordinate ricordando che per costruzione il punto E ha l'ascissa di B e l'ordinata di A mentre il punto C ha l'ascissa di P e l'ordinata di A$$(y-y_A):(x-x_A)=(y_B-y_A):(x_B-x_A) \\ \frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$Questa è la formula per scrivere l'equazione della retta passante per due punti sostituendo nella formula le coordinate dei punti A e B. Andiamo però avanti alla ricerca di un'altra forma per l'equazione della retta: moltiplico i due membri per la quantità \(x -x_A \) nella condizione che sia \( x\neq x_A \) cioè che le ascisse di A e P non coincidano$$(y-y_A)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot(x-x_A) \\\\ y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot x-\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot x_A \\ y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot x-\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot x_A+y_A$$Poiché A e B sono punti assegnati le loro coordinate sono numeri ed anche il loro prodotto o quoziente lo è; possiamo allora porre$$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \textrm{ e } q=-\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot x_A+y_A$$ottenendo l'espressione $$y=mx+q$$nota come forma esplicita dell'equazione della retta dove m e q sono valori numerici.

Vediamo adesso che significato hanno questi due valori:


m

Il coefficiente \(m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \) rappresenta il rapporto tra l'altezza e la base del triangolo BAE; questo rapporto è costante per tutti i triangoli simili PAC che si possono costruire al variare di P sulla retta e dipende dall'angolo che la retta forma con l'asse delle x. Per questo motivo vienne chiamato coefficiente angolare della retta; osserviamo che se la retta e l'asse formano un angolo acuto (minore dell'angolo retto) esso è positivo perché sono positivi sia il numeratore che il denominatore della frazione, mentre se formano un angolo ottuso il coefficiente angolare è negativo perché il numeratore diventa negativo essendo il punto B più in basso di A mentre il denominatore resta positivo (B più a destra di A) quindi la frazione cambia segno. In particolare se la retta forma un angolo di 45 gradi con l'asse x notiamo che l'angolo \( \widehat{CPA}=180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ} \) quindi il triangolo PAC è isoscele e quindi \( \overline{PC}= \overline{AC} \) e quindi il loro rapporto vale 1 quindi l'equazione è del tipo$$y=x+q$$Un altro caso particolare è quando la retta forma un angolo di \( 135^{\circ} \) con l'asse delle ascisse; in particolare risulta che il triangolo è di nuovo isoscele ma essendo l'angolo ottuso il coefficiente angolare vale -1 cioè l'equazione è $$y=-x+q$$

q

Per studiare la quantità q prendiamo in considerazione come punto P quello che si trova sull'asse delle y cioè quello che ha ascissa nulla; in questo caso otteniamo \( y=q \) cioè la retta incontra l'asse delle ordinate nel punto di ordinata uguale a q. Questo è il significato del coefficiente q cioè l'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle y.
Osserviamo allora che nel caso particolare in cui q è nullo otteniamo che la retta incontra l'asse delle ordinate nel punto di ordinata 0 cioè nell'origine degli assi.


Osserviamo adesso le equazioni particolari per le quali risulta q=0 e l'angolo formata dalla retta con l'asse x pari a \(45^{\circ}\) o a \(135^{\circ}\).
Nel primo caso notiamo che una retta che passa per O (Origine degli assi) e forma con l'asse x un angolo di \( 45^{\circ} \) formerà lo stesso angolo anche con l'asse delle y essendo i due assi ortogonali e quindi gli angoli tra loro tutti retti; allora la retta y=x rappresenta la bisettrice del I quadrante ed anche del III che ad esso è opposto.

Allo stesso modo per l'angolo di \( 135^{\circ} \) notando che è uguale a \( 90^{\circ}+45^{\circ} \) si ha che esso forma con l'asse delle y e con il lato negativo dell'asse delle x angoli di \( 45^{\circ} \) e per questo l'equazione y=-x rappresenta la bisettrice del II e IV quadrante.




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