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Equazione della Parabola


La parabola è il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti da un punto fisso detto Fuoco e da una retta detta direttrice della parabola

Ricaviamo la sua equazione in una condizione particolare per poi allargare il concetto al caso generale.

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano OXY e prendiamo una retta (direttrice) parallela all'asse x di equazione \( y=-d \) dove d è un numero reale positivo; prendiamo inoltre un punto F (fuoco) sull'asse delle y di coordinate (0;d), cioè fuoco e retta sono a distanza opposta dall'origine degli assi quindi proprio l'origine degli assi sarà un punto della parabola.
Prendiamo adesso un punto generico P, di coordinate (x;y), della parabola ed applichiamo la proprietà descritta nella definizione come luogo geometrico uguagliando la distanza di questo punto dal fuoco alla distanza dello stesso dalla retta direttrice.
Per quanto riguarda la distanza dalla direttrice,tracciamo il segmento \( \vec{PA} \) ortogonale alla direttrice di origine P; il punto A è quello di incontro con la direttrice e chiamiamo \( P_x \) il suo punto di intersezione con l'asse. La distanza è allora la lunghezza del segmento \( \vec{PA} \) che scriviamo come somma tra le lunghezze \( \overline{PP_x} \textrm{ e } \overline{P_xA} \) cioè come somma tra la distanza di P dall'asse x più la distanza tra l'asse x e la retta direttrice; la prima è rappresentata dall'ordinata y del punto P mentre la seconda è uguale a d infatti la retta y=-d è costituita dai punti a distanza d dall'asse x che si trovano al di sotto dell'asse.
La distanza fuoco punto P la calcoliamo invece con la formula per la distanza tra due punti. Quindi abbiamo$$\overline{PA}=\overline{PF}$$passando alle coordinate$$|(y+d)|=\sqrt{(y-d)^2+(x-0)^2}$$Per risolvere questa equazione dobbiamo elevare al quadrato e quindi dobbiamo porre le condizioni di realtà e quelle sul segno non negativo degli argomenti; la radice esiste sicuramente perché il radicando è la somma di due quadrati e quindi sicuramente positiva inoltre anche il primo membro è positivo (c'è il valore assoluto) essendo una distanza e quindi una quantità che non può essere negativa. Eleviamo allora al quadrato tralasciando il modulo al primo membro perché elevando al quadrato il risultato è sicuramente positivo.$$(y+d)^2=(y-d)^2+x^2 \\ y^2+d^2+2dy=y^2+d^2-2dy+x^2 \\ 2dy=-2dy+x^2$$portiamo i termini con la y al primo membro ed esplicitiamo l'equazione rispetto a y$$4dy=x^2 \\ y=\frac{x^2}{4d} \rightarrow y=\frac{1}{4d}x^2$$Poniamo adesso \( \frac{1}{4d}=a \) ed otteniamo $$y=ax^2$$Questa è l'equazione generica della parabola, passante per l'origine, con fuoco sull'asse y e direttrice parallela all'asse x.
Dalla posizione fatta \( \frac{1}{4d}=a \) ricaviamo d come \( d=\frac{1}{4a} \)e quindi nota una generica equazione della parabola scritta nella formula \( y=ax^2 \) otteniamo che essa ha la direttrice parallela all'asse x e di equazione \( y=-\frac{1}{4a} \), ed il fuoco di coordinate \( (0;\frac{1}{4a}) \).


Notiamo alcune caratteristiche di questa equazione:
  • è simmetrica rispetto all'asse y infatti considerato un qualsiasi suo punto con ascissa positiva si ha che il punto con la stessa ascissa ma negativa, ha la stessa ordinata, cioè per ogni punto a destra dell'asse y vi è un altro punto ad esso speculare dall'altra parte con la stessa ordinata ed ascissa opposta; si dice che l'asse y e per la parabola asse di simmetria.
  • La parabola ha tutti i punti dalla stessa parte dell'asse x (tranne il vertice in cui la parabola passa per l'origine degli assi) ed il segno del coefficiente a distingue i due casi possibili; se a e positivo y sarà sicuramente positivo e quindi la parabola ha la concavità verso l'alto mentre se a è negativo, la concavità è rivolta verso il basso.


Generalizziamo ora l'equazione a quella di una parabola che abbia asse di simmetria verticale e fuoco in un punto qualsiasi del piano.
Consideriamo il vertice della parabola; esso ha coordinate (0;0) e supponiamo si spostarlo in un altro punto del piano in cui abbia nuove coordinate (x_V;y_V). Supponiamo di spostare della stessa quantità ogni punto della parabola conservando sempre l'asse di simmetria verticale e la direttrice parallela all'asse x. Per semplicità spostiamo il vertice nel punto di coordinate \( (-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a} \) dove \( \Delta=b^2-4ac \) e quindi ogni punto della parabola sarà spostato della stessa quantità in particolare si avrà che il fuoco ottenga coordinata \( x=0 +(-\frac{b}{2a}) =-\frac{b}{2a}\), la stessa del vertice come ci si aspettava, e coordinata \( y=\frac{1}{4a}+(\frac{-\Delta}{4a})=\frac{1-\Delta}{4a} \); la direttrice incontrerà l'asse delle y nel punto x=0 e \( y=-\frac{1}{4a}+(\frac{-\Delta}{4a})=-\frac{1+\Delta}{4a} \) e quindi, essendo parallela all'asse x, la sua equazione sarà \( y=-\frac{1+\Delta}{4a} \). Un generico punto della parabola avrà quindi coordinate \( (x-\frac{b}{2a};y-\frac{\Delta}{4a}) \); imponiamo che per un generico punto valga l'equazione della parabola precedentemente ricavata. $$y-\frac{\Delta}{4a}=a\cdot(x-\frac{b}{2a})^2 \\ y-\frac{\Delta}{4a}=a\cdot(x^2+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b}{a}x) \\ y-\frac{\Delta}{4a}=ax^2+\frac{b^2}{4a}-bx \\ \frac{4ay-\Delta}{4a}=\frac{4a^2x^2+b^2-4abx}{4a} \\ 4ay-\Delta=4a^2x^2+b^2-4abx$$sostituiamo a Δ il suo valore ed otteniamo$$4ay-(b^2-4ac)=4a^2x^2+b^2-4abx \\ 4ay-b^2+4ac=4a^2x^2+b^2-4abx \\ 4ay=4a^2x^2-4abx-4ac \\ y=ax^2-bx-c $$Questa è l'equazione generale di una parabola con asse di simmetria verticale e direttrice orizzontale, per la quale noti i coefficienti a , b e c posso individuare le coordinate di vertice , fuoco, asse di simmetria e direttrice.



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