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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Circonferenze secanti e tangenti Fascio di circonferenze Approfondimenti parabola Parabola con asse orizzontale Parabola:sdoppiamento variabili Fascio di parabole Ellisse equazione canonica Ellisse con i fuochi su y Eccentricità di una ellisse Ellisse generale Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Ellisse riferita a rette parallele agli assi cartesiani


ellisse riferita a rette parallele agli assi coordinati
Consideriamo un piano cartesiano \(Oxy\) ed una ellisse i cui assi sono paralleli agli assi cartesiani; indichiamo con \(O'(x_0;y_0) \) il punto di incontro tra gli assi dell'ellisse. Adesso consideriamo un nuovo sistema di riferimento O'XY di centro \(O'\) ed assi paralleli a quelli del sistema di partenza; in questo nuovo sistema di riferimento l'equazione dell'ellisse assumerà la forma canonica e quindi indicati con \(a\) e \(b\) i semiassi dell'ellisse l'equazione è del tipo $$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$$ Vogliamo adesso ricavare l'equazione di questa ellisse nel sistema di riferimento \(Oxy\) ed a tale scopo utilizziamo le equazioni per la traslazione del sistema di riferimento $$\left\{\begin{matrix} x=X+x_0 \\ y=Y+y_0 \end{matrix}\right. \ \rightarrow \ \left\{\begin{matrix} X=x-x_0 \\ Y=y-y_0 \end{matrix}\right.$$ Applichiamo queste relazioni all'equazione dell'ellisse ed otteniamo $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$ Svolgiamo adesso i calcoli ed otteniamo $$b^2(x-x_0)^2+a^2(y-y_0)^2= a^2\cdot b^2$$ $$b^2x^2+b^2x_0^2-2b^2x_0x+a^2y^2+a^2y_0^2-2a^2y_0y-a^2b^2=0$$ $$b^2x^2+a^2y^2-2b^2x_0x-2a^2y_0y+b^2x_0^2+a^2y_0^2-a^2b^2=0$$ Poniamo adesso

\(b^2=m \)

\(a^2=n \)

\( -2b^2x_0=p\)

\(-2a^2y_0=q \)

\(b^2x_0^2+a^2y_0^2-a^2b^2=r \)

Otteniamo così $$mx^2+ny^2+px+qy+r=0$$ Osserviamo che \(m\) ed \(n\) sono positivi perché valori al quadrato e quindi possiamo dire che una generica ellisse con assi paralleli a quelli cartesiani, ha equazione $$mx^2+ny^2+px+qy+r=0$$con \(m \gt 0\) e \(n\gt 0\).


Dimostriamo adesso il viceversa cioè che ogni equazione di questo tipo dove risulti \(m \gt 0\) e \(n\gt 0\) rappresenta nel piano cartesiano, una ellisse con assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani.
Dalle posizioni applicate prima ricaviamo le coordinate del punto \(O'\) rispetto ai coefficienti dell'equazione:
ricavo \(x_0\) dalla terza posizione ed ottengo $$x_0=-\frac{p}{2b^2}$$ Utilizzando anche la prima posizione otteniamo$$x_0=-\frac{p}{2m}$$ Allo stesso modo dalla quarta e dalla seconda posizione si ottiene $$y_0=-\frac{q}{2n}$$ Quindi le coordinate del punto di incontro tra gli assi dell'ellisse sono $$O'(-\frac{p}{2m};-\frac{q}{2n})$$ Adesso scriviamo l'equazione nella forma $$m(x^2+\frac{p}{m}x)+n(y^2+\frac{q}{n}y)=-r$$ Aggiungiamo adesso a destra e sinistra dell'equazione la quantità \(\frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n} \) che ci consente di rendere i binomi al primo membro dei quadrati $$m(x^2+\frac{p}{m}x+\frac{p^2}{4m^2})+n(y^2+\frac{q}{n}y+\frac{q^2}{4n^2})=-r+\frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n}$$ $$m(x+\frac{p}{2m})^2+n(y+\frac{q}{2n})^2=-r+\frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n}$$ Distinguiamo adesso tre casi in cui il secondo membro dell'equazione è negativo, nullo o positivo.

Secondo membro negativo

In questo caso l'equazione non ammette alcuna soluzione visto che il primo membro è la somma di due quadrati e quindi sempre positivo.

Secondo membro nullo

In questo caso l'equazione diventa $$m(x+\frac{p}{2m})^2+n(y+\frac{q}{2n})^2=0$$ che sarà soddisfatta quando entrambi gli addendi al primo membro saranno nulli; ciò significa che l'equazione ammette una sola soluzione cioè $$x=-\frac{p}{2m} \ \ e \ \ y=-\frac{q}{2n}$$ Quindi nel piano cartesiano rappresenta un punto che ha le coordinate del punto \(O'\) e quindi rappresenta una ellisse degenere nel suo centro cioè nel punto di intersezione dei suoi assi di simmetria.


Secondo membro positivo

In questo caso possiamo porre il secondo membro uguale ad \(s\) ottenendo $$m(x+\frac{p}{2m})^2+n(y+\frac{q}{2n})^2=s$$ Riscriviamo l'equazione operando sul segno all'interno dei binomi e portando i coefficienti \(m\) ed \(n\) al denominatore capovolgendoli $$\frac{[x-(-\frac{p}{2m})]^2}{\frac{1}{m}}+\frac{[y-(-\frac{q}{2n})]^2}{\frac{1}{n}}=s$$ Dividiamo adesso per \(s\) ottenendo $$\frac{[x-(-\frac{p}{2m})]^2}{\frac{s}{m}}+\frac{[y-(-\frac{q}{2n})]^2}{\frac{s}{n}}=1$$ Poiché \(m \gt 0 \ , \ n \gt 0 \ e \ s \gt 0\) possiamo porre:

\(a=\sqrt{\frac{s}{m}}\)

\(b=\sqrt{\frac{s}{n}}\)

Inoltre al numeratore compaiono le coordinate del punto \(O'\) e quindi possiamo sostituirle con \(x_0 \ \ e \ \ y_0\) ottenendo infine $$\frac{[x-x_0]^2}{a^2}+\frac{[y-y_0]^2}{b^2}=1$$ Questa è proprio l'equazione di una ellisse con gli assi di simmetria traslati rispetto agli assi coordinati.

In definitiva abbiamo ottenuto che una equazione del tipo $$mx^2+ny^2+px+qy+r=0$$dove risulti \(m \gt 0\) e \(n\gt 0\) rappresenta una ellisse con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati a patto che risulti \(-r+\frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n} \geq0\) dove il caso di uguaglianza rappresenta l'ellisse degenere nel suo centro. Possiamo allora ricavare data l'equazione nella forma precedente, tutte le informazioni dell'ellisse:

\(a=\sqrt{\frac{s}{m}}\)

\(b=\sqrt{\frac{s}{n}}\)

\(c^2=a^2-b^2 \ \rightarrow \ c=\sqrt{\frac{s}{m}-\frac{s}{n}}\)

\(O'(-\frac{p}{2m};-\frac{q}{2n}) \)

Le coordinate dei fuochi si possono ottenere da quelle del centro dell'ellisse e dalla distanza focale infatti un fuoco ha la stessa ordinata del centro e come ascissa quella del centro più o meno la metà della distanza focale; quindi $$F_1(-\frac{p}{2m}-c; -\frac{q}{2n}) \ \ \ \ \ F_2(-\frac{p}{2m}+c; -\frac{q}{2n})$$ Allo stesso modo si ottengono le coordinate dei vertici. Nel caso i fuochi si trovino su un asse parallelo a quello delle ordinate si opera al contrario per calcolare le varie coordinate di vertici e fuochi.



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