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Eccentricità di una ellisse


Si definisce eccentricità di una ellisse il rapporto tra la sua distanza focale ed il suo asse maggiore

Essa è indicata di solito con la lettera \(e\), quindi abbiamo $$e=\frac{dist \ focale}{asse \ maggiore}$$
eccentricità dell'ellisse
Quindi se abbiamo a che fare con una ellisse che ha i fuochi sull'asse delle ascisse, come in figura, l'asse maggiore varrà \(2a\) e di conseguenza avremo $$e=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}$$
Diversamente se l'ellisse ha i fuochi sull'asse delle ordinate si avrà $$e=\frac{2c}{2b}=\frac{c}{b}$$ Poiché la distanza focale è sempre minore dell'asse maggiore dell'ellisse siamo sicuri che l'eccentricità risulta sempre minore o uguale ad uno ed inoltre essa non può essere negativa perché rapporto tra valori positivi. Valutiamo adesso i casi limite per una ellisse con fuochi sull'asse delle ascisse (il ragionamento è lo stesso per l'ellisse con fuochi sull'asse \(y\)), cioè \(e=0 \ \ ed \ \ e=1\).


eccentricità nulla
Ciò significa che è nullo il rapporto tra distanza focale ed asse maggiore quindi che la distanza focale è nulla $$\frac{2c}{2a}=0 \ \rightarrow \ 2c=0 \ \rightarrow \ c=0$$ Questo significa che i due fuochi coincidono ed hanno coordinate \(F_1(0;0) \equiv F_2(0;0) \) quindi ricordando la definizione come luogo geometrico otteniamo che i punti hanno la somma delle distanze dai fuochi costante ma poiché i fuochi coincidono possiamo dire che sia costante il doppio della distanza del punto da un fuoco; ma se è costante il doppio della distanza lo sarà anche la distanza stessa e quindi abbiamo che sarà costante la distanza del punto da un fuoco cioè da un punto fisso. Abbiamo quindi ricavato la definizione di circonferenza come luogo geometrico quindi un'ellisse con eccentricità nulla altro non è se non una circonferenza; avremmo ottenuto lo stesso operando algebricamente.
Da \(c=0\) , ricordando la posizione \(b^2=a^2-c^2\) , fatta quando abbiamo ricavato l'equazione canonica dell'ellisse con i fuochi sull'asse \(x\), ricaviamo $$b^2=a^2-0^2=a^2$$ Sostituendo nell'equazione dell'ellisse si ha $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \ \rightarrow \ x^2+y^2=a^2$$Questa ultima è proprio l'equazione della circonferenza di centro l'origine e raggio pari al semiasse maggiore; diremo allora che una ellisse con eccentricità nulla è una circonferenza con raggio pari al semiasse maggiore dell'ellisse.

eccentricità pari ad uno
Se l'eccentricità è 1 significa che la distanza focale coincide con l'asse maggiore $$e=\frac{c}{a}=1 \ \rightarrow \ c=a$$ e quindi i fuochi coincidono con due vertici; inoltre riscrivendo la solita posizione vista prima otteniamo $$b^2=a^2-c^2=a^2-a^2=0$$cioè l'asse minore ha lunghezza nulla e quindi tutti i punti dell'ellisse si trovano sull'asse maggiore.
Diremo allora che l'ellisse con eccentricità 1 è degenere in un segmento coincidente con il suo asse maggiore.


Da questi risultati possiamo affermare che l'eccentricità di una ellisse è un parametro che misura il suo schiacciamento rispetto alla circonferenza che ha per raggio la lunghezza del suo semiasse maggiore; in particolare minore è l'eccentricità, minore sarà lo schiacciamento finché per eccentricità 0 lo schiacciamento sarà massimo in modo da ridurre l'ellisse ad un segmento pari al suo asse maggiore.




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