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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Circonferenze secanti e tangenti Fascio di circonferenze Approfondimenti parabola Parabola con asse orizzontale Parabola:sdoppiamento variabili Fascio di parabole Ellisse equazione canonica Ellisse con i fuochi su y Eccentricità di una ellisse Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Ellisse con i fuochi sull'asse delle \(y\)


ellisse con i fuochi sull'asse y
Il procedimento per ricavare l'equazione canonica dell'ellisse con i fuochi sull'asse delle ordinate è lo stesso usato per l'ellisse con i fuochi sull'asse \(x\) ; in particolare se indichiamo la somma delle distanze dai fuochi del generico punto dell'ellisse con \(2b\) e successivamente nei calcoli sostituiamo \( (b^2-c^2) \) con \(a^2\) otterremo una formula che è identica a quella con i fuochi sull'asse delle ascisse: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
Ricapitolando avremo:

Fuochi
I fuochi avranno coordinate \(F_1(0;c) \ \ e \ \ F_2(0;-c) \) e ricordando la posizione fatta, \(a^2=b^2-c^2\) possiamo ricavare \(c\) , che è sicuramente positivo perché misura di una distanza come $$c=\sqrt{b^2-a^2}$$quindi i fuochi avranno coordinate $$F_1(0;\sqrt{b^2-a^2}) \ \ \ \ F_2(0;-\sqrt{b^2-a^2})$$

Assi di simmetria
Gli assi dell'ellisse risulteranno invertiti cioè l'asse maggiore varrà \(2b\) e si troverà lungo l'asse delle ordinate mentre l'asse minore varrà \(2a\) e si troverà lungo l'asse delle ascisse; quindi come per l'ellisse della pagina precedente, l'asse maggiore è quello a cui appartengono i fuochi. In definitiva poiché \(a\) e \(b\) sono quantità positive (misure di distanze) avremo una ellisse con fuochi sull'asse \(x\) se \(a\gt b\) mentre se \(a\lt b\) l'ellisse avrà i fuochi sull'asse delle \(y\).

Vertici
Poiché l'equazione è identica a quella dell'ellisse con i fuochi sull'asse \(x\) , i vertici avranno le stesse coordinate cioè:
\(P_1(-a;0) \ , \ P_2(a;0) \ , \ P_3(0;b) \ e \ P_4(0;-b) \)





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