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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Ellisse con i fuochi sull'asse delle \(y\)


ellisse con i fuochi sull'asse y
Il procedimento per ricavare l'equazione canonica dell'ellisse con i fuochi sull'asse delle ordinate è lo stesso usato per l'ellisse con i fuochi sull'asse \(x\) ; in particolare se indichiamo la somma delle distanze dai fuochi del generico punto dell'ellisse con \(2b\) e successivamente nei calcoli sostituiamo \( (b^2-c^2) \) con \(a^2\) otterremo una formula che è identica a quella con i fuochi sull'asse delle ascisse: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
Ricapitolando avremo:

Fuochi
I fuochi avranno coordinate \(F_1(0;c) \ \ e \ \ F_2(0;-c) \) e ricordando la posizione fatta, \(a^2=b^2-c^2\) possiamo ricavare \(c\) , che è sicuramente positivo perché misura di una distanza come $$c=\sqrt{b^2-a^2}$$quindi i fuochi avranno coordinate $$F_1(0;\sqrt{b^2-a^2}) \ \ \ \ F_2(0;-\sqrt{b^2-a^2})$$

Assi di simmetria
Gli assi dell'ellisse risulteranno invertiti cioè l'asse maggiore varrà \(2b\) e si troverà lungo l'asse delle ordinate mentre l'asse minore varrà \(2a\) e si troverà lungo l'asse delle ascisse; quindi come per l'ellisse della pagina precedente, l'asse maggiore è quello a cui appartengono i fuochi. In definitiva poiché \(a\) e \(b\) sono quantità positive (misure di distanze) avremo una ellisse con fuochi sull'asse \(x\) se \(a\gt b\) mentre se \(a\lt b\) l'ellisse avrà i fuochi sull'asse delle \(y\).

Vertici
Poiché l'equazione è identica a quella dell'ellisse con i fuochi sull'asse \(x\) , i vertici avranno le stesse coordinate cioè:
\(P_1(-a;0) \ , \ P_2(a;0) \ , \ P_3(0;b) \ e \ P_4(0;-b) \)





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