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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Circonferenze secanti e tangenti Fascio di circonferenze Approfondimenti parabola Parabola con asse orizzontale Parabola:sdoppiamento variabili Fascio di parabole Ellisse equazione canonica Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Equazione canonica dell'ellisse con i fuochi sull'asse \(x\)


In questa pagina costruiremo l'equazione dell'ellisse con fuochi sull'asse delle ascisse ed alla stessa distanza dall'origine; per fare ciò partiamo dalla definizione di ellisse come luogo geometrico:

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali risulta costante la somma delle sue distanze da due punti fissi detti fuochi

La distanza tra due fuochi si chiama distanza focale; quando essi si trovano su un asse del sistema di riferimento ad eguale distanza dall'origine, l'equazione che rappresenta l'ellisse si dice canonica o normale perché si trova nella forma più semplice.
ellisse con i fuochi sull'asse x
In un piano cartesiano ortogonale consideriamo due punti \(F_1(-c;0) \ \ e \ \ F_2(c;0) \) sull'asse delle ascisse ed alla stessa distanza dall'origine degli assi come in figura; la loro distanza sarà quindi \(2c\). Indichiamo allora con \(P(x;y) \) il generico punto dell'ellisse e con \(2a\) la somma delle sue distanze dai fuochi; scriviamo questa relazione sfruttando la formula della distanza tra due punti ed otteniamo $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$
$$\sqrt{[x-(-c)]^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a$$ $$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$ Portiamo il secondo radicale al secondo membro ed eleviamo tutto al quadrato (possiamo farlo infatti \(2a\) è la somma di due valori positivi, i radicali, e quindi di certo maggiore di ognuno di essi) $$[\sqrt{(x+c)^2+y^2}]^2=[2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}]^2$$ $$(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y-^2}$$ $$ x^2+c^2+2cx+y^2=4a^2+x^2+c^2-2cx+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y-^2}$$ sommiamo ciò che possibile ed isoliamo il radicale al secondo membro $$4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x-c)^2+y-^2}$$ $$a\sqrt{(x-c)^2+y-^2}=a^2-cx$$eleviamo nuovamente al quadrato ed otteniamo $$a^2[(x-c)^2+y-^2]=(a^2-cx)^2$$ $$a^2(x^2+c^2-2cx+y^2)=a^4+c^2x^2-2a^2cx$$ $$a^2x^2+a^2c^2-2a^2cx+a^2y^2=a^4+c^2x^2-2a^2cx$$portiamo a sinistra i termini con le variabili ed a destra quelli noti $$a^2x^2-c^2x^2 +a^2y^2=a^4-a^2c^2$$ $$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$Dalla figura considerando il triangolo \(PF_1F_2\) per la disuguaglianza triangolare otteniamo \( \overline{F_1F_2} \lt overline{PF_1}+overline{PF_2} \) quindi ricordando che la distanza focale è \(2c\) e la somma delle distanze tra il punto ed i fuochi vale \(2a\) otteniamo \(2c\lt 2a \ \rightarrow \ c\lt a\) ; da ciò deduciamo che la quantità \( (a^2-c^2) \) presente nell'equazione è positiva e quindi possiamo porre \(b^2=a^2-c^2 \) ottenendo $$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$e dividendo tutto per \(a^2b^2\) $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ Questa è l'equazione canonica di una ellisse con i fuochi sull'asse delle ascisse; quindi un generico punto le cui coordinate soddisfano questa equazione appartiene all'ellisse.


Facciamo adesso alcune osservazioni:

1) nell'equazione abbiamo fatto la posizione \(b^2=a^2-c^2\) da cui ricaviamo
\(c^2=a^2-b^2 \ \ \) e poiché c rappresenta una distanza esso sarà positivo e quindi ricaviamo
\(c=\sqrt{a^2-b^2}\) e quindi le coordinate dei fuochi sono $$F_1(- \sqrt{a^2-b^2};0) \ \ \ \ F_2(\sqrt{a^2-b^2};0)$$
2)
simmetria centrale ed assiale dell'ellisse
le variabili sono presenti nell'equazione sempre al quadrato e quindi se l'equazione è soddisfatta per un punto \(A\) di coordinate \( (x_0;y_0) \) lo sarà anche per i punti \( B(-x_0;y_0) \ , \ C(-x_0;-y_0) \ ,\ D(x_0;-y_0) \) come in figura ma notiamo che le coppie di punti \(A,B \ \ e \ \ C,D\) sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate, le coppie \(A,D \ \ e \ \ C,B\) sono simmetriche rispetto all'asse delle ascisse ed infine le coppie \(A,C \ \ e \ \ B,D\) sono simmetriche rispetto all'origine; ciò significa che l'equazione canonica dell'ellisse gode di simmetria assiale e centrale cioè gli assi sono assi di simmetria e l'origine è centro di simmetria per l'ellisse con equazione canonica.

3)
intersezione dell'ellisse con gli assi cartesiani
consideriamo le intersezioni dell'equazione dell'ellisse con gli assi cartesiani. Per l'asse delle ascisse dobbiamo svolgere il sistema $$\left\{\begin{matrix}y=0 \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{matrix}\right. \ \rightarrow \ \left\{\begin{matrix}y=0 \\ \frac{x^2}{a^2}=1 \end{matrix}\right. $$che ha per soluzioni $$\left\{\begin{matrix}y=0 \\ x=\pm a \end{matrix}\right. $$ e quindi l'ellisse incontra l'asse nei punti \(P_1(-a;0) \ \ e \ \ P_2(a;0) \) come in figura. Analogamente per l'asse delle ordinate si ha $$\left\{\begin{matrix}x=0 \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{matrix}\right. \ \rightarrow \ \left\{\begin{matrix}x=0 \\ \frac{y^2}{b^2}=1 \end{matrix}\right. $$che ha per soluzioni $$\left\{\begin{matrix}x=0 \\ y=\pm b \end{matrix}\right. $$ e quindi l'ellisse incontra l'asse nei punti \(P_3(0;b) \ \ e \ \ P_4(0;-b) \) come in figura. Questi quattro punti vengono detti vertici del'ellisse mentre i segmenti \( \overline{P_1P_2} \ \ e \ \ \overline{P_3P_4} \) sono chiamati rispettivamente asse maggiore ed asse minore dell'ellisse e le loro lunghezze sono \(2a\) e \(2b\)





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