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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Equazione parametrica di una curva


Consideriamo l'equazione di un luogo geometrico del tipo \( F(x;y)=0 \); essa può essere anche descritta anche da una coppia di equazioni del tipo $$\left\{\begin{matrix}x=f(k) \\ y=g(k) \end{matrix}\right.$$Queste due equazioni forniscono le coorinate del punto P al variare del parametro reale k definito in un opportuno sottoinsieme di \( \mathbb{R} \).
In generale, nei casi più semplici, è possibile ricavare la forma parametrica del luogo geometrico direttamente dall'equazione in forma esplicita e viceversa ricavare l'equazione del luogo non parametrica eliminando il parametro dal sistema.
Vediamo qualche esempio:


Esempio 1

Calcolare il sistema di equazioni parametriche che descrivono la retta diequazione \(2x-3y+4=0\)

Portiamo le variabili nei due membri opposti dell'equazione ed il termine noto in uno dei due ottenendo $$2x+4=3y$$Impongo adesso entrambi i membri uguali a k ed ottengo $$\left\{\begin{matrix}2x+4=k \\ 3y=k \end{matrix}\right.$$ esplicitando rispetto alle variabili x ed y ottengo le equazioni parametriche $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-4}{4} \\ y=\frac{k}{3}\end{matrix}\right.$$



Esempio 2

Calcolare l'equazione del luogo geometrico ricavandola dalle sue equazioni parametriche $$\left\{\begin{matrix}x=2k+1 \\ y=k-2 \end{matrix}\right.$$ Dalla seconda equazione ricaviamo il valore di k
\( k=y+2 \)
Sostituiamo questo valore nella prima equazione ed otteniamo $$x=2(y+2)+1 \\ x=2y+4+1 \\ x-2y-5=0$$ Questa è l'equazione di una retta.




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