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Algebra

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Equazione parametrica di una curva


Consideriamo l'equazione di un luogo geometrico del tipo \( F(x;y)=0 \); essa può essere anche descritta anche da una coppia di equazioni del tipo $$\left\{\begin{matrix}x=f(k) \\ y=g(k) \end{matrix}\right.$$Queste due equazioni forniscono le coorinate del punto P al variare del parametro reale k definito in un opportuno sottoinsieme di \( \mathbb{R} \).
In generale, nei casi più semplici, è possibile ricavare la forma parametrica del luogo geometrico direttamente dall'equazione in forma esplicita e viceversa ricavare l'equazione del luogo non parametrica eliminando il parametro dal sistema.
Vediamo qualche esempio:


Esempio 1

Calcolare il sistema di equazioni parametriche che descrivono la retta diequazione \(2x-3y+4=0\)

Portiamo le variabili nei due membri opposti dell'equazione ed il termine noto in uno dei due ottenendo $$2x+4=3y$$Impongo adesso entrambi i membri uguali a k ed ottengo $$\left\{\begin{matrix}2x+4=k \\ 3y=k \end{matrix}\right.$$ esplicitando rispetto alle variabili x ed y ottengo le equazioni parametriche $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-4}{4} \\ y=\frac{k}{3}\end{matrix}\right.$$



Esempio 2

Calcolare l'equazione del luogo geometrico ricavandola dalle sue equazioni parametriche $$\left\{\begin{matrix}x=2k+1 \\ y=k-2 \end{matrix}\right.$$ Dalla seconda equazione ricaviamo il valore di k
\( k=y+2 \)
Sostituiamo questo valore nella prima equazione ed otteniamo $$x=2(y+2)+1 \\ x=2y+4+1 \\ x-2y-5=0$$ Questa è l'equazione di una retta.




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