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Algebra

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Fascio di circonferenze


Consideriamo due circonferenze di equazioni

\(\delta_1 \ \rightarrow \ x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1=0 \)

\(\delta_2 \ \rightarrow \ x^2+y^2+\alpha_2 x+\beta_2 y+\gamma_2=0 \)

Prendiamo una loro combinazione lineare trmite il parametro k $$x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1+k(x^2+y^2+\alpha_2 x+\beta_2 y+\gamma_2)=0$$ Possiamo riscrivere questa equazione mettendo le variabili in evidenza ottenendo $$(1+k)x^2+(1+k)y^2+(\alpha_1+k\alpha_2)x+(\beta_1+k\beta_2)y+\gamma_1+k\gamma_2=0$$ In equazione possiamo osservare che ponendo \( k=-1 \) otteniamo l'equazione dell'asse radicale tra le due circonferenze $$(\alpha_1-\alpha_2)x+(\beta_1-\beta_2)y+\gamma_1-\gamma_2=0$$ Invece per \(k\neq0\) possiamo dividere ambo i membri dell'equazione per il binomio \( (1+k) \) ottenendo l'equazione in forma canonica della generica circonferenza del fascio. $$x^2+y^2+\frac{(\alpha_1+k\alpha_2)}{(1+k)}x+\frac{(\beta_1+k\beta_2)}{(1+k)}y+\frac{\gamma_1+k\gamma_2}{(1+k)}=0$$ Quindi al variare del parametro k, questa equazione rappresenta infinite circonferenze cioè un fascio di circonferenze generato dalle circonferenze generatrici \(\delta_1 \ \ e \ \ \delta_2 \). L'unica circonferenza non descritta dal fascio è la seconda generatrice che non è ottenibile per nessun valore del parametro mentre la prima generatrice si ottiene scegliendo \(k=0\).


Si può dimostrare che qualsiasi coppia di circonferenze appartenenti al fascio noi scegliamo, la retta passante per i loro centri è perpendicolare all'asse radicale; semplicemente consideriamo due circonferenze del fascio ottenute da due \(k\) diversi tra loro ed entrambi diversi da zero, calcoliamo le coordinate dei centri ed il coefficiente angolare della retta passante per essi. Sarà facile notare che questo coefficiente angolare è il reciproco opposto di quello dell'asse radicale ottenibile direttamente dalla sua equazione scritta in forma esplicita.

Vediamo adesso come cambia il fascio di circonferenze se le generatrici sono secanti o tangenti; esse non possono essere esterne (cioè non avere punti in comune) perché in tal caso l'equazione del fascio non avrebbe senso visto che per \(k\neq 0\) non sarebbe mai soddisfatta (in nessun punto le equazioni delle circonferenze sono simultaneamente verificate).

generatrici secanti

I punti \(A \ \ e \ \ B\) di intersezione delle generatrici soddisfano l'equazione del fascio per ogni K e quindi appartengono a tutte le circonferenze del fascio; ciò significa che l'asse radicale delle due generatrici è asse radicale per ogni coppia di circonferenze del fascio; i punti \(A \ \ e \ \ B\) vengono detti punti base del fascio di circonferenze e l'asse radicale, asse radicale del fascio di circonferenze.
L'asse radicale è considerato come una circonferenza degenere di raggio infinito


generatrici tangenti

L'unico punto in comune \(D\) tra le generatrici, soddisfa l'equazione del fascio per ogni \(k\) e quindi appartiene ad ogni circonferenza del fascio nonché all'asse radicale. In questo caso il punto viene detto punto base del fascio e si conviene includere nel fascio anche la circonferenza degenere di centro \(D\) e raggio 0.



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