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Algebra

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Mutue posizioni tra due circonferenze


Come per il caso generale di due curve qualsiasi anche per le circonferenze, per valutare la loro mutua posizione, cioè se esse abbiano o no punti in comune, si ricorre al sistema costituito dalle due equazioni rappresentative delle stesse. $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1=0 \\ x^2+y^2+\alpha_2 x+\beta_2 y+\gamma_2=0 \end{matrix}\right.$$ Questo sistema essendo costituito da due equazioni di secondo grado sarà di quarto grado ma grazie alla particolare forma delle equazioni della circonferenza è possibile trasformarlo in uno di secondo grado; basta sostituire una delle due equazioni con la differenza tra le stesse ottenendo $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1=0 \\ (\alpha_1 -\alpha_2)\cdot x+(\beta_1 - \beta_2)\cdot y+ \gamma_1 -\gamma_2=0 \end{matrix}\right.$$ Abbiamo quindi il sistema tra l'equazione di una circonferenza (in questo caso la prima circonferenza) ed una equazione di primo grado; questa ultima rappresenta, come ogni equazione di primo grado, una retta che viene chiamata asse radicale. Ad essa appartengono i punti di intersezione tra le circonferenze quindi risulterà essere la retta tangente alle due circonferenze se esse sono tangenti tra loro (si toccano in un sol punto) oppure sarà la retta passante per i due punti di intersezione tra le circonferenze se esse saranno secanti tra loro. Nel caso in cui le circonferenze sono esterne si ha che l'asse radicale è il luogo geometrico dei punti di egual potenza rispetto alle due circonferenze; questa definizione vale anche se le circonferenze sono tangenti o secanti.
Definiamo per completezza la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza:

Data una circonferenza di centro \(C\) e raggio \(r\) ed un punto \(P\), conduciamo dal punto una secante alla circonferenza si definisce potenza del punto \(P\) rispetto alla circonferenza, il valore del prodotto costante tra l'intera secante e la sua parte esterna alla circonferenza


potenza di un punto rispetto ad una circonferenza
Consideriamo un punto ed una circonferenza come in figura e tracciamo la secante alla circonferenza che incontrerà la stessa nei due punti \(A \ \ e \ \ B\), conduciamo dallo stesso punto anche le due tangenti alla circonferenza i cui punti di contatto saranno \(T_1 \ \ e \ \ T_2\). Vogliamo mostrare che la potenza del punto è costante cioè non dipende dalla secante scelta.
Sappiamo dalla geometria euclidea che i due segmenti \(\overline{PT_1} \ \ e \ \ \overline{PT_2}\) sono congruenti, perché segmenti di tangenti ad una circonferenza da uno stesso punto esterno, inoltre il teorema della tangente e della secante afferma che il segmento di tangenza è medio proporzionale tra la secante e la sua parte esterna; da ciò, utilizzando le proprietà delle proporzioni, ricaviamo che il prodotto \( \overline{PB} \cdot \overline{PA}\) è uguale al quadrato di un segmento di tangente (ad esempio \(\overline{PT_1}^2\)). Congiungiamo adesso il centro della circonferenza con il punto \(P\) e con il punto \(T_1\); consideriamo il triangolo \(T_1PC\), esso è rettangolo in \(T_1\) perché i due lati sono uno tangente ed un'altro raggio nel punto di tangenza, quindi ortogonali. Applichiamo allora il teorema di Pitagora ed otteniamo $$\overline{PC}^2=\overline{PT_1}^2+\overline{CT_1}^2$$ quindi la potenza del punto vale $$\overline{PA} \cdot \overline{PB}=\overline{PT_1}^2=\overline{PC}^2-\overline{CT_1}^2$$ nell'ultimo membro dell'uguaglianza i due segmenti rappresentano uno la distanza tra il punto ed il centro della circonferenza e l'altro il raggio \(r\) della stessa quindi detta \(d\) la distanza punto-centro otteniamo che la potenza di \(P\) rispetto alla circonferenza vale$$Pot (P)=d^2-r^2$$ed è quindi indipendente dalla secante scelta.


Si può anche dimostrare che l'asse radicale tra due circonferenze è ortogonale al segmento che unisce i centri delle circonferenze stesse; basta considerare l'equazione dell'asse radicale in forma esplicita e confrontare il suo coefficiente angolare con quello della retta passante per i centri delle circonferenze, ricavabile direttamente dalle coordinate dei centri.

In definitiva, tornando alle due circonferenze diciamo che se il sistema tra una delle due equazioni e quella dell'asse radicale ammette due soluzioni distinte le circonferenze sono secanti e le soluzioni rappresentano le coordinate dei punti di intersezione, se il sistema ammette due soluzioni coincidenti le circonferenze sono tangenti e la soluzione rappresenta le coordinate del punto di contatto, infine, se il sistema non ammette soluzioni le circonferenze non hanno punti in comune.



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