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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Equazione della retta Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Circonferenze e retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Mutue posizioni tra circonferenza e retta


Abbiamo già visto in precedenza come calcolare, se esistono, i punti di intersezione tra due curve cioè mettere a sistema le due equazioni e calcolarne le soluzioni; per retta e circonferenza il discorso è lo stesso. Poniamo quindi a sistema le due equazioni $$$$ Se questo sistema ammette due soluzioni distinte diremo che la retta è secante la circonferenza mentre se non ammette soluzioni diremo che è esterna alla circonferenza cioè non ha con essa nessun punto in comune; infine se il sistema ammette due soluzioni coincidenti si ha che la retta è tangente alla circonferenza cioè la tocca in un solo punto.
Dalla geometria euclidea sappiamo che una retta risulta secante, tangente o esterna ad una circonferenza in base alla distanza tra la retta stessa ed il centro della circonferenza; in particolare se la distanza è inferiore al raggio la retta sarà secante, se la distanza è maggiore del raggio la retta sarà esterna mentre se la distanza coincide con il raggio si avrà che la retta è tangente alla circonferenza. Quest'ultima proprietà ci consente di ricavare un metodo più semplice per il calcolo delle equazioni delle tangenti alla circonferenza da un punto \(P\) sia che esso sia esterno alla circonferenza sia che appartenga alla circonferenza stessa.
Possiamo infetti considerare il fascio proprio di rette passanti per \(P\) $$y-y_0=m(x-x_0)$$e per calcolare il valore del coefficiente angolare, imporre che la distanza tra il centro della circonferenza e la retta sia uguale al raggio. Prima dobbiamo scrivere l'equazione del fascio in forma implicita $$-mx+y+mx_0-y_0=0$$ adesso applichiamo la formula della distanza punto-retta dove il punto è rappresentato dal centro della circonferenza \(C(x_C;y_C)\) $$d=\frac{|-m\cdot x_C+1\cdot y_C+mx_0-y_0|}{\sqrt{(-m)^2+(1)^2}}$$ Imponendo che risulti \(d=r\) ricaviamo una equazione in cui l'unica incognita è \(m\) ed avrà due soluzioni distinte se il punto \(P\) è esterno alla circonferenza, due soluzioni coincidenti se il punto è sulla circonferenza e nessuna soluzione se il punto è interno alla circonferenza; può capitare di avere una sola soluzione per \(m\), questo come già spiegato quando abbiamo discusso delle tangenti ad una curva da un punto esterno, dipende dal fatto che l'equazione del fascio proprio non rappresenta la retta parallela all'asse delle ordinate e quindi in questi casi le tangenti sono due di cui una ha coefficiente angolare \(m\) (quello calcolato) e l'altra è parallela all'asse \(y\)



Esempio

Scrivere l'equazione della tangente alla circonferenza \(x^2+y^2 +8x+7=0\) passante per il punto \(P(2;1) \).
Calcoliamo le coordinate del centro e la lunghezza del raggio:

\(x_C=-\frac{\alpha}{2}=-\frac{8}{2}=-4\)

\(y_C=-\frac{\beta}{2}=-\frac{0}{2}=0\)

\(r=\sqrt{(-\frac{\alpha}{2})^2+(-\frac{\beta}{2})^2-\gamma}=\sqrt{(-4)^2+0^2-7}=\sqrt{16-7}=3\)

Imponiamo allora che la distanza centro retta sia pari al raggio $$\frac{|-m\cdot (-4)+1\cdot 0+m(2)-(1)|}{\sqrt{(-m)^2+(1)^2}}=3$$ $$\frac{|6m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=3$$ $$|6m-1|=3\sqrt{m^2+1}$$ i due membri sono entrambi positivi quindi possiamo elevare al quadrato $$(6m-1)^2=9(m^2+1)$$ $$-9m^2-9+36m^2+1-12m=0$$ $$27m^2-12m-8=0$$ Calcoliamo il Δ ed otteniamo

\(\Delta=144+864=1008\gt0\)

il Δ è positivo e quindi l'equazione ammette due soluzioni \(m_1 \ \ \ ed \ \ \ m_2\) e quindi ci saranno due rette tangenti che stà a significare che il punto è esterno alla circonferenza.


Nel caso in cui il punto dal quale calcolare la tangente sia appartenente alla circonferenza possiamo sfruttare un'altra caratteristica della tangente, quella di essere sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.
Possiamo sfruttare questa proprietà utilizzando sempre il fascio proprio di rette passanti per \(P\) ma ricavando m come opposto del reciproco del coefficiente angolare del raggio nel punto di tangenza; quest'ultimo si ricava come coefficiente angolare della retta passante per due punti.

Una menzione particolare è necessaria per una formula particolare che ci consente di scrivere direttamente l'equazione della retta tangente ad una circonferenza una volta note l'equazione della circonferenza e le coordinate del punto di contatto.


formula di sdoppiamento delle variabili


Consideriamo la circonferenza di equazione \(x^2+y^2+\alpha x+ \beta y+\gamma=0\) ed un generico punto \(P(x_0;y_0) \) appartenente alla circonferenza stessa, l'equazione della retta tangente alla circonferenza e passante per \(P\) ha equazione $$x\cdot x_{0}+y\cdot y_{0}+\frac{\alpha}{2}(x-x_0)+\frac{\beta}{2}(y-y_0)+\gamma=0$$ Per la dimostrazione guarda il video seguente.



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