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Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Equazione della retta Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Circonferenze particolari Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Circonferenze particolari


Vogliamo in questa pagina studiare alcuni casi di equazioni che rappresentano circonferenze con particolari proprietà.
Consideriamo l'equazione in forma canonica della circonferenza: $$x^2+y^2+\alpha x +\beta y +\gamma=0$$ Vogliamo osservare in modo specifico i casi in cui uno o più coefficienti di questa equazione siano nulli ed analizzare le caratteristiche della circonferenza:

\( \gamma=0 \)

circonferenza passante per l'origine degli assi
L'equazione diventa $$x^2+y^2+\alpha x +\beta y =0$$ e come possiamo osservare non vi è più il termine noto quindi sarà sicuramente soluzione il punto \( (0;0) \) cioè l'origine degli assi; infatti sostituendo nell'equazione le coordinate dell'origine degli assi si ha l'identità \( 0=0 \).


\( \alpha=0 \)

circonferenza con il centro sull'asse delle ordinate
L'equazione diventa $$x^2+y^2 +\beta y + \gamma =0$$ e ricordando le formule per ricavare le coordinate del centro a partire dai coefficienti dell'equazione otteniamo; dette \( x_0 \ \ e \ \ y_0 \) le coordinate del centro:
\(x_0=-\frac{\alpha}{2}=-\frac{0}{2}=0 \)
Quindi l'ascissa del centro è nulla; ciò significa che il centro stesso si trova lungo l'asse delle ordinate.
Nel caso in cui risultasse anche \( \gamma=0 \) si avrebbe una circonferenza passante dall'origine e con il centro sull'asse delle ordinate, il che significa che il raggio della circonferenza è pari all'ordinata del centro ed inoltre la circonferenza incontra l'asse y anche nel punto \( (0;2r) \) dove con \(r\) ho indicato il raggio.

\( \beta=0 \)

circonferenza con il centro sull'asse delle ascisse
L'equazione diventa $$x^2+y^2 +\alpha x + \gamma =0$$ e ricordando le formule per ricavare le coordinate del centro a partire dai coefficienti dell'equazione otteniamo; dette \( x_0 \ \ e \ \ y_0 \) le coordinate del centro:
\(y_0=-\frac{\beta}{2}=-\frac{0}{2}=0 \)
Quindi l'ordinata del centro è nulla; ciò significa che il centro stesso si trova lungo l'asse delle ascisse.
Come prima, nel caso in cui risultasse anche \( \gamma=0 \) si avrebbe una circonferenza passante dall'origine e con il centro sull'asse delle ascisse, il che significa che il raggio della circonferenza è pari all'ascissa del centro ed inoltre la circonferenza incontra l'asse y anche nel punto \( (2r;0) \) .


\( \alpha=\beta=0 \)

circonferenza con il centro nell'origine degli assi
L'equazione diventa $$x^2+y^2 +\gamma =0$$ e come possiamo osservare otteniamo la circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio $$r=\sqrt{(-\frac{\alpha}{2})^2+(-\frac{\beta}{2})^2-\gamma}=\sqrt{0+0-\gamma}=\sqrt{-\gamma}$$ Nel caso in cui fosse \( \gamma=0\) si avrebbe l'equazione della circonferenza degenere nel suo centro cioè l'unico punto del luogo geometrico sarebbe il centro della circonferenza.




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