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Algebra

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Circonferenze particolari


Vogliamo in questa pagina studiare alcuni casi di equazioni che rappresentano circonferenze con particolari proprietà.
Consideriamo l'equazione in forma canonica della circonferenza: $$x^2+y^2+\alpha x +\beta y +\gamma=0$$ Vogliamo osservare in modo specifico i casi in cui uno o più coefficienti di questa equazione siano nulli ed analizzare le caratteristiche della circonferenza:

\( \gamma=0 \)

circonferenza passante per l'origine degli assi
L'equazione diventa $$x^2+y^2+\alpha x +\beta y =0$$ e come possiamo osservare non vi è più il termine noto quindi sarà sicuramente soluzione il punto \( (0;0) \) cioè l'origine degli assi; infatti sostituendo nell'equazione le coordinate dell'origine degli assi si ha l'identità \( 0=0 \).


\( \alpha=0 \)

circonferenza con il centro sull'asse delle ordinate
L'equazione diventa $$x^2+y^2 +\beta y + \gamma =0$$ e ricordando le formule per ricavare le coordinate del centro a partire dai coefficienti dell'equazione otteniamo; dette \( x_0 \ \ e \ \ y_0 \) le coordinate del centro:
\(x_0=-\frac{\alpha}{2}=-\frac{0}{2}=0 \)
Quindi l'ascissa del centro è nulla; ciò significa che il centro stesso si trova lungo l'asse delle ordinate.
Nel caso in cui risultasse anche \( \gamma=0 \) si avrebbe una circonferenza passante dall'origine e con il centro sull'asse delle ordinate, il che significa che il raggio della circonferenza è pari all'ordinata del centro ed inoltre la circonferenza incontra l'asse y anche nel punto \( (0;2r) \) dove con \(r\) ho indicato il raggio.

\( \beta=0 \)

circonferenza con il centro sull'asse delle ascisse
L'equazione diventa $$x^2+y^2 +\alpha x + \gamma =0$$ e ricordando le formule per ricavare le coordinate del centro a partire dai coefficienti dell'equazione otteniamo; dette \( x_0 \ \ e \ \ y_0 \) le coordinate del centro:
\(y_0=-\frac{\beta}{2}=-\frac{0}{2}=0 \)
Quindi l'ordinata del centro è nulla; ciò significa che il centro stesso si trova lungo l'asse delle ascisse.
Come prima, nel caso in cui risultasse anche \( \gamma=0 \) si avrebbe una circonferenza passante dall'origine e con il centro sull'asse delle ascisse, il che significa che il raggio della circonferenza è pari all'ascissa del centro ed inoltre la circonferenza incontra l'asse y anche nel punto \( (2r;0) \) .


\( \alpha=\beta=0 \)

circonferenza con il centro nell'origine degli assi
L'equazione diventa $$x^2+y^2 +\gamma =0$$ e come possiamo osservare otteniamo la circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio $$r=\sqrt{(-\frac{\alpha}{2})^2+(-\frac{\beta}{2})^2-\gamma}=\sqrt{0+0-\gamma}=\sqrt{-\gamma}$$ Nel caso in cui fosse \( \gamma=0\) si avrebbe l'equazione della circonferenza degenere nel suo centro cioè l'unico punto del luogo geometrico sarebbe il centro della circonferenza.




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