Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Geometria Cartesiana

Piano cartesiano Luogo geometrico del piano Intersezione tra curve Sistemi di riferimento traslati Equazione parametrica della curva Equazione della retta Rette parallele e perpendicolari Equazione implicita della retta Fascio proprio ed improprio di rette Retta per due punti Equazione segmentaria della retta Distanza punto-retta Asse del segmento e bisettrice Fascio generato da due rette Rette tangenti alla conica Equazione della circonferenza Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Equazione della circonferenza


Ricaviamo l'equazione della circonferenza a partire dalla sua definizione come luogo geometrico:

circonferenza nel piano cartesiano
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che sono equidistanti da un punto fisso detto centro; questo punto è detto centro della circonferenza mentre la distanza di ogni punto dal centro è detta raggio

Consideriamo un punto fisso \(C(x_0;y_0) \) che rappresenta il centro ed una distanza \(r\) che sarà il raggio, imponiamo che il generico punto \(P(x;y) \) della circonferenza si trovi ad una distanza \(r\) dal centro ed otteniamo $$\overline{CP}=r$$passando alle coordinate ed applicando la formula della distanza tra due punti si ha $$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r$$Poiché \(r\) rappresenta una distanza esso sarà sicuramente positivo e quindi possiamo elevare al quadrato i due membri dell'equazione ottenendo $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ che rappresenta l'equazione della circonferenza di raggio \(r\) e centro \(C\); nel caso particolare in cui il centro fosse nell'origine degli assi si avrebbe \(x_0=0 \ \ e \ \ y_0=0\) e quindi l'equazione diverrebbe $$x^2+y^2=r$$che rappresenta quindi l'equazione della circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio \(r\).


Considerando l'equazione generale, svolgiamo i quadrati e portiamo tutti i termini al primo membro $$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0-r^2=0$$ordiniamo il primo membro $$x^2+y^2-2xx_0-2yy_0+x_0^2+y_0^2-r^2=0$$ Poichè \(x_0 \ , \ y_0 \ , \ r \) sono dei numeri possiamo fare delle posizioni sui coefficienti delle variabili; in particolare poniamo

\(-2x_0=\alpha\) , \(-2y_0=\beta\) e \(x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma \)

e l'equazione diventa $$x^2+y^2+\alpha x +\beta y +\gamma=0$$ Questa equazione è detta forma canonica o normale dell'equazione della circonferenza.
Essa rappresenta una equazione di secondo grado in due variabili con la caratteristica di avere i coefficienti dei termini quadratici pari a 1 e la mancanza del termine misto tra le variabili\( (xy) \).

Abbiamo quindi dimostrato che l'equazione di una circonferenza può essere sempre scritta in forma canonica; vogliamo adesso osservare che non tutte le equazioni che hanno una forma come quella canonica rappresentano una circonferenza.
Per prima cosa ricaviamo dalle posizioni fatte in precedenza i valori di \(x_0 \ , \ y_0 \ \ e \ \ r \) in funzione di \(\alpha \ , \ \beta \ \ e \ \ \gamma \):

\(-2x_0=\alpha \ \rightarrow \ x_0=-\frac{\alpha}{2}\)
\(-2y_0=\beta \ \rightarrow \ y_0=-\frac{\beta}{2}\)
\(x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma \ \rightarrow \ (-\frac{\alpha}{2})^2+(-\frac{\beta}{2})^2-r^2=0 \ \rightarrow \ \) \( r^2=(-\frac{\alpha}{2})^2+(-\frac{\beta}{2})^2-\gamma \ \rightarrow \) \(r=\sqrt{(-\frac{\alpha}{2})^2+(-\frac{\beta}{2})^2-\gamma}\)

Notiamo allora che solo le equazioni per le quali i coefficienti \(\alpha \ , \ \beta \ \ e \ \ \gamma \) rendono questo radicando positivo rappresentano una circonferenza mentre per le altre non è definito il raggio; nel caso particolare in cui i coefficienti annullano il radicando si ha raggio nullo e si parla di circonferenza degenere nel suo centro, cioè di una circonferenza costituita da un solo punto (il suo centro).


N.B. Possiamo dimostrare anche per via algebrica che non tutte le equazioni che rispettano la forma canonica dell'equazione della circonferenza rappresentano realmente una circonferenza.
Prendiamo una equazione nella forma$$x^2+y^2+\alpha x +\beta y +\gamma=0$$ed aggiungiamo ad ambo i membri la quantità \(\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}\) che ci permette di riscrivere parte del primo membro come somma di quadrati $$x^2+y^2+\alpha x +\beta y +\gamma+\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}=\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}$$ portiamo il termine \(\gamma\) al secondo membro e riordiniamo il primo $$x^2+\alpha x +\frac{\alpha^2}{4}+y^2+\beta y +\frac{\beta^2}{4}=\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4} -\gamma$$ $$(x+\frac{\alpha}{2})^2+(y+\frac{\beta}{2})^2=\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4} -\gamma$$ Notiamo che il secondo membro dell'equazione coincide con il radicando visto prima e valutiamo le tre possibilità in cui esso è positivo negativo o nullo:

secondo membro positivo
L'equazione rappresenta una circonferenza di centro \( C(-\frac{\alpha}{2};-\frac{\beta}{2}) \) e raggio \(r=\sqrt{(-\frac{\alpha}{2})^2+(-\frac{\beta}{2})^2-\gamma}\)

secondo membro negativo
L'equazione non è mai soddisfatta visto che il primo membro è una somma di quadrati e quindi non sarà mai negativo.

secondo membro nullo
Essendo il primo membro la somma di due valori forzatamente positivi, affinché esso sia nullo entrambi gli addendi devono essere contemporaneamente nulli quindi deve verificarsi

\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{\alpha}{2}=0 \\ y+\frac{\beta}{2}=0 \end{matrix}\right. \ \ \) cioè \( \ \ \left\{\begin{matrix} x=-\frac{\alpha}{2} \\ y=-\frac{\beta}{2} \end{matrix}\right. \)

quindi l'equazione è verificata nell'unico punto di coordinate \( (-\frac{\alpha}{2};-\frac{\beta}{2}) \) che rappresentano le coordinate del centro e quindi la circonferenza è degenere nel suo centro.



Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.