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Algebra

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Geometria cartesiana

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Asse di un segmento


Si definisce asse di un segmento il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che sono equidistanti dagli estremi del segmento.

asse di un segmento
Da questa definizione possiamo già ricavare l'equazione dell'asse considerando il segmento di estremi \(P_1(x_1;y_1) \ \ e \ \ P_2(x_2;y_2) \) ed imponendo che il generico punto \(P(x;y) \) dell'asse abbia distanze uguali rispetto agli estremi stessi; infatti dette \(d_1 \ \ e \ \ d_2 \) le distanze si ha:

\(d_1=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} \)

\(d_2=\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} \)

Imponiamo l'uguaglianza $$\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} =\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}$$eleviamo al quadrato e svolgiamo i calcoli $$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2$$ $$x^2+x_1^2-2xx_1+y^2+y_1^2-2yy_1=x^2+x_2^2-2xx_2+y^2+y_2^2-2yy_2$$ $$x_1^2-2xx_1+y_1^2-2yy_1=x_2^2-2xx_2+y_2^2-2yy_2$$ Portiamo i fattori con la \(y\) al primo membro e gli altri al secondo $$-2yy_1+2yy_2=-2xx_2+2xx_1+x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2$$mettiamo in evidenza \(2y\) al primo membro e \(-2x\) al secondo membro dove possibile $$2y(y_2-y_1)=-2x(x_2-x_1)+x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2$$ Dividiamo entrambi i membri per \(2(y_2-y_1)\) in modo da ottenere l'equazione in forma esplicita $$y=-\frac{\not{2}(x_2-x_1)}{\not{2}(y_2-y_1)}x+\frac{x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2}{2(y_2-y_1)}$$ Osserviamo il coefficiente della x al secondo membro; esso è proprio l'opposto del reciproco del coefficiente angolare passante per i punti \(P_1 \ \ e \ \ P_2 \). Ricaviamo allora che questa retta è ortogonale al segmento considerato ed inoltre, per la definizione del luogo geometrico, essa passerà sicuramente per il punto medio del segmento; potremmo modificare ulteriormente il secondo membro dell'equazione per far si che l'equazione assuma la sua forma definitiva ma non è nostro interesse farlo adesso.


Sappiamo adesso che l'asse del segmento è una retta passante per il suo punto medio ed ortogonale al segmento stesso; sfruttando queste informazioni possiamo scrivere l'equazione dell'asse anche in modo diverso. Possiamo calcolare le coordinate del punto medio del segmento, calcolare il coefficiente angolare del segmento stesso ed infine scrivere l'equazione della retta passante per il punto medio e con coefficiente angolare pari all'opposto del reciproco di quello del segmento.
Chiamiamo M(x_M;y_M) il punto medio del segmento per cui abbiamo:

\(x_M=\frac{x_1+x_2}{2}\)

\(y_M=\frac{y_1+y_2}{2}\)

Calcoliamo il coefficiente angolare \(m_s \) del segmento

\(m_s=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

ne calcoliamo l'opposto del reciproco che sarà il coefficiente angolare \(m_a\) dell'asse.

\(m_a=-\frac{1}{m_s}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\)

Scriviamo adesso l'equazione del fascio proprio di rette dove porremo come centro il punto medio del segmento e come coefficiente angolare \(m_a\) $$y-y_M=m_a(x-x_M)$$ $$y-\frac{y_1+y_2}{2}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}(x-\frac{x_1+x_2}{2})$$ Questa è l'equazione dell'asse del segmento noti i due estremi.


Bisettrice di un angolo


Si definisce bisettrice di un angolo, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell'angolo stesso.

asse di un segmento
Consideriamo due rette incidenti \(r \rightarrow a_1x+b_1y+c_1=0 \) ed \(s \rightarrow a_2x+b_2y+c_2=0 \) in un piano ortogonale \(Oxy\) e vogliamo ricavare l'equazione delle bisettrici dei 4 angoli formati da queste due rette; per fare ciò prendiamo un generico punto \(P(x;y)\) ed imponiamo che la sua distanza dalle rette sia la stessa. Applichiamo allora la formula della distanza tra un punto ed una retta per calcolare queste due distanze

\( \overline{AP}=\frac{|a_1x+b_1y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} \)

\( \overline{PB}=\frac{|a_2x+b_2y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}} \)

Uguagliamole ed otteniamo $$\frac{|a_1x+b_1y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{|a_2x+b_2y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$ Volendo eliminare i moduli osserviamo che gli argomenti degli stessi possono essere discordi o concordi tra loro e quindi l'equazione equivale a due equazioni senza i moduli delle quali una avrà i due argomenti presi positivi mentre l'altra ne avrà uno positivo ed uno negativo; possiamo allora riassumere scrivendo $$ \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$ Le equazioni sono due perché due sono le bisettrici da individuare che saranno una bisettrice dei due angoli acuti e l'altra dei due angoli ottusi e risulteranno perpendicolari tra loro.



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