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Similitudine dei triangoli


Come affermato in precedenza, i criteri di similitudine dei triangoli sono alla base di quelli relativi ai poligoni potendo dividere questi ultimi in triangoli. Vediamo e dimostriamo separatamente i tre criteri di similitudine dei triangoli.

Primo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti

criteri di similitudine
Notiamo per prima cosa che aver indicato tra le ipotesi che i due triangoli abbiano due angoli uguali equivale ad affermare che lo siano tutti e tre essendo la somma degli angoli interni di un triangolo sempre pari ad un angolo piatto. Supponiamo di avere due triangoli ABC e DEF che abbiano gli angoli uguali cioè :
\( \widehat{CAB}=\widehat{FDE} \);
\( \widehat{ABC}=\widehat{DEF} \);
\( \widehat{BCA}=\widehat{EFD} \).
In particolare sfruttiamo la prima per poter costruire nel triangolo ABC il triangolo omotetico AE'F' per il quale il rapporto di omotetia k sia uguale al rapporto tra il lato \( \overline{AC} \) del triangolo ABC ed il lato \( \overline{DF} \) del triangolo DEF (se k=1 significa che i due lati sono uguali e quindi i triangoli risulteranno congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli e quindi anche simili). Dimostriamo che questo triangolo è congruente a quello DEF.
Per le proprietà dell'omotetia sappiamo che gli angoli vengono trasformati in angoli congruenti quindi si ha:
\( \widehat{ABC}=\widehat{AE'F'} \);
\( \widehat{BCA}=\widehat{E'F'A} \).
Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha:
\( \widehat{DEF}=\widehat{AE'F'} \);
\( \widehat{EFD}=\widehat{E'F'A} \);
Inoltre sempre una proprietà dell'omotetia ci garantisce che il rapporto tra i lati \( \overline{AC} \textrm{ e } \overline{AF'} \) vale k come tra i lati \( \overline{AC} \textrm{ e } \overline{DF} \)

Possiamo affermare che i due triangoli AE'F' e DEF sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli avendo un lato ed i tre angoli uguali quindi di sicuro un lato ed i due angoli ad esso adiacenti uguali. In definitiva otteniamo che il triangolo DEF essendo congruente al triangolo AE'F' può essere ottenuto da esso tramite una trasformazione isometrica; il triangolo AE'F' è il risultato di una omotetia applicata al triangolo ABC quindi concludiamo che:

il triangolo DEF si ottiene applicando una omotetia al triangolo ABC e successivamente, al risultato, una isometria quindi diremo che DEF è simile al triangolo ABC. C.V.D.

Secondo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente ed i due lati che lo comprendono proporzionali

criteri di similitudine
Consideriamo i due triangoli ABC e DEF in figura che hanno per ipotesi gli angoli in A ed in D congruenti ed inoltre vale la proporzione$$\overline{AB} : \overline{DE}= \overline{AC} : \overline{DF}$$Chiamato k il coefficiente di proporzionalità osserviamo che se fosse k=1 i due triangoli sarebbero uguali per il primo principio di congruenza dei triangoli e quindi palesemente simili.
Poniamoci nel caso in cui \( k\neq 1 \); costruiamo sul triangolo ABC il triangolo AE'F' omotetico ad esso di centro A e rapporto k. Per dimostrare il criterio ci basta dimostrare che i triangoli AE'F' e DEF sono congruenti; essi hanno di sicuro \( \widehat{F'AE'}=\widehat{FDE} \) per ipotesi. Inoltre per le proprietà dell'omotetia si ha $$\frac{\overline{AB}}{\overline{AE'}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AF'}}=k$$ da queste uguaglianze ricaviamo:
\( \overline{AB}=k\cdot \overline{AE'} \);
\( \overline{AC}=k\cdot \overline{AF'} \).
Ma dalle ipotesi possiamo ricavare$$\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=k$$ e quindi:
\( \overline{AB}=k\cdot \overline{DE} \);
\( \overline{AC}=k\cdot \overline{DF} \).
Dall'uguaglianza dei primi membri ricaviamo l'uguaglianza dei secondi, quindi otteniamo:
\( k\cdot \overline{AE'}=k\cdot \overline{DE} \);
\( k\cdot \overline{AF'}=k\cdot \overline{DF} \).
Che semplificate restituiscono \( \overline{AE'}= \overline{DE} \) e \( \overline{AF'}= \overline{DF} \); i due triangoli AE'F' e DEF sono uguali per il primo principio di congruenza dei triangoli. Essendo questi due triangoli congruenti, tra essi intercorre una isometria mentre tra i triangoli ABC ed AE'F' vi è una omotetia per costruzione; quindi il triangolo DEF è ottenibile dal triangolo ABC applicando prima una omotetia e poi una isometria cioè i due triangoli sono simili. C.V.D.

Terzo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali

criteri di similitudine
Per ipotesi abbiamo $$\overline{AB} : \overline{DE}= \overline{AC} : \overline{DF}=\overline{BC} : \overline{EF}=k$$Nel caso in cui k sia 1 otteniamo che i tre lati sono uguali e quindi i triangoli congruenti per il terzo principio di congruenza dei triangoli; supponiamo allora che sia k diverso da 1. Costruiamo sul triangolo ABC il triangolo AE'F' omotetico al precedente di centro A e rapporto k; per le proprietà dell'omotetia si ha$$\overline{AB} : \overline{AE'}= \overline{AC} : \overline{AF'}=\overline{BC} : \overline{E'F'}=k$$Unendo queste uguaglianze a quelle ricavate dall'ipotesi otteniamo che:
\( \overline{AE'}=\overline{DE} \);
\( \overline{AF'}=\overline{DF} \);
\( \overline{E'F'}=\overline{EF} \).
Quindi i due triangoli sono congruenti per il terzo principio di congruenza dei triangoli e tra essi intercorre una trasformazione isometrica; tra i triangoli ABC e AE'F' invece intercorre una trasformazione omotetica e quindi il triangolo DEF è ottenibile dal triangolo ABC applicando prima una omotetia e poi una isometria cioè i due triangoli sono simili. C.V.D.



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