Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli

Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Triangoli

Un triangolo è la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune.

Come per ogni oggetto geometrico anche stavolta diremo che due triangoli sono congruenti se è possibile sovrapporli con un movimento rigido in modo da farli coincidere punto per punto; per loro però sono stati studiati anche altri criteri che ci permettono di valutare se due triangoli sono congruenti valutando solo alcuni dei loro elementi.

I Criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti se sono congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso.
Per ipotesi abbiamo:
\( \overline{AB}=\overline{A'B'} \)
\( \overline{BC}=\overline{B'C'} \)
\( \alpha =\alpha ' \).
Devo dimostrare che i due triangoli hanno tutti gli elementi congruenti. Trasporto l'angolo α sull'angolo α' in modo da sovrapporre il lato A'B' ad AB ed il lato B'C' a BC. Per le ipotesi di uguaglianza dei lati avremo che i vertici A ed A' e C e C' coincideranno e quindi anche i lati AC e A'C' coincideranno punto per punto. I due triangoli sono perfettamente sovrapposti e coincidono punto per punto quindi sono uguali.

II Criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti se sono congruenti due angoli ed il lato tra essi compreso.
Per ipotesi abbiamo:
\( \alpha =\alpha ' \).
\( \beta =\beta ' \).
\( \overline{BC}=\overline{B'C'} \)
Trasporto il lato B'C' sul lato BC in modo che l'angolo α' vada sull'angolo α e l'angolo β' sull'angolo β. I due triangoli hanno allora sovrapposti anche i lati A'B' con AB e A'C' con AC ed i loro punti di incontro; allora essi coincidono punto per punto e quindi sono congruenti.

Da questi primi due criteri ricaviamo un teorema che riguarda i triangoli isosceli (un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti).

Teorema del triangolo isoscele

Ogni triangolo che ha due lati congruenti ha anche due angoli congruenti e viceversa.
Dimostriamo che un triangolo che ha due lati uguali ha anche due angoli uguali
Prolunghiamo i lati AB ed AC della stessa quantità ed uniamo i vertici ottenuti D ed E rispettivamente con i vertici C e B. Consideriamo i triangoli ADC ed ABE; essi hanno:
\( \overline{AB}=\overline{AC} \) per ipotesi;
\( \overline{AD}=\overline{AE} \) perchè somme di segmenti uguali;
l'angolo \( \widehat{A} \) in comune. Quindi i due triangoli hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli ed in particolare avranno \( \overline{BE}=\overline{CD} \) e \( \widehat{D}=\widehat{E} \).
Consideriamo adesso i triangoli BDC e BEC; essi hanno:
\( \overline{CE}=\overline{BD} \) per costruzione;
\( \overline{CD}=\overline{BE} \) perché appena dimostrato;
\( \widehat{BDC}=\widehat{BEC} \) perché appena dimostrato.
Allora anche questi due triangoli sono congruenti per il primo principio ed in particolare hanno \( \widehat{BCE}=\widehat{CBD} \).
Consideriamo adesso i due angoli \( \widehat{ABD} \) e \( \widehat{ACE} \), uguali perché entrami piatti; scriviamo allora$$ \widehat{ABD}=\widehat{ACE} \rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{CBD}=\widehat{BCA}+\widehat{BCE}$$ma \( \widehat{BCE}=\widehat{CBD} \) sottraendo ad ambo i membri la quantità \( \widehat{BCE} \) ottengo:
\( \widehat{ABC}=\widehat{BCA} \) C.V.D.

Dimostriamo che un triangolo che ha due angoli uguali ha anche due lati uguali
Consideriamo i due triangoli BCD e BEC della figura precedente; per essi si ha:
\( \overline{CE}=\overline{BD} \) per costruzione;
\( \overline{BC} \) in comune;
\( \widehat{CBD}=\widehat{ECB} \) perché differenze tra angoli piatti ( \( \widehat{ABD} \) e \( \widehat{ACE} \) ) ed angoli uguali per ipotesi ( \( \widehat{ABC} \) e \( \widehat{BCA} \) ).
I due triangoli sono quindi congruenti per il primo principio ed in particolare hanno \( \overline{CD}=\overline{BE} \) , \( \widehat{BDC}=\widehat{BEC} \) e \( \widehat{DCB}=\widehat{BCE} \).
Consideriamo adesso i triangoli ADC e ABE; essi hanno:
\( \widehat{ADC}=\widehat{BEA} \) come appena dimostrato;
\( \overline{CD}=\overline{BE} \) come appena dimostrato;
\( \widehat{DCA}=\widehat{ABE} \) perché somme di angoli congruenti infatti \( \widehat{DCA}=\widehat{DCB}+\widehat{BCA}=\widehat{CBE}+\widehat{ABC}=\widehat{ABE} \).
Quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli ed in particolare avranno \( \overline{AB}=\overline{AC} \). C.V.D.

III Criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati congruenti.
Consideriamo i due triangoli ABC e A'B'C' che hanno per ipotesi i tre lati uguali a due a due; trasportiamo il triangolo ABC sull'altro in modo che i lati BC e B'C' coincidano ed i vertici A ed A' si trovino dalle parti opposte di \( \overline{BC} \). Tracciamo il segmento \( \overline{AA'} \) e consideriamo il triangolo A'AC esso ha \( \overline{A'C}=\overline{AC} \) per ipotesi e quindi per il teorema del triangolo isoscele si ha \( \beta = \beta ' \); allo stesso modo considerando il triangolo A'BA si ottiene \( \alpha = \alpha ' \).
Otteniamo allora $$\widehat{CA'B}=\alpha ' + \beta '= \alpha + \beta = \widehat{BAC}$$Allora i due triangoli A'BC e B'A'C' sono congruenti per il primo principio di uguaglianza dei triangoli.

Con la conoscenza di questi criteri possiamo iniziare a risolvere alcuni problemi geometrici semplici; essi consistono nel dimostrare delle uguaglianze tra lati o angoli oppure dimostrare particolari proprietà partendo da alcune ipotesi ed applicando i principi di uguaglianza ad opportuni triangoli. Praticamente si inizia il ragionamento da ciò che dobbiamo dimostrare e valutando di quali ipotesi abbiamo bisogno per farlo; se queste ipotesi sono già in nostro possesso come ipotesi di partenza del problema abbiamo già finito, altrimenti, dobbiamo considerare queste ipotesi come tesi di un nuovo problema. Reiteriamo questo ragionamento finché non arriviamo nella condizione in cui siamo in possesso di tutte le ipotesi che ci servono; a questo punto scriviamo la soluzione del problema ricostruendo i vari passaggi partendo dalle ipotesi del problema fino ad arrivare logicamente alla dimostrazione delle tesi del problema stesso.

Problema

Partendo dal triangolo isoscele prendiamo due punti D ed E sul lato BC in modo che sia \( \overline{BD}=\overline{EC} \) ed entrambi minori della metà di \( \overline{BC} \). Dimostrare che il triangolo ADE è isoscele.

Per ipotesi abbiamo:
\( \overline{AB}=\overline{AC} \) perché ABC è isoscele;
\( \alpha = \alpha ' \) per ipotesi;
\( \overline{BD}=\overline{EC} \) per costruzione.
Vogliamo dimostrare che ADE è isoscele e per fare ciò basta dimostrare che \( \overline{AD}=\overline{AE} \); vedo se è possibile farlo utilizzando i triangoli ABD e AEC essi dovrebbero essere congruenti. Per dimostrare ciò ho bisogno delle ipotesi di uno dei teoremi di congruenza dei triangoli; in questo caso ho di sicuro le ipotesi del primo principio di congruenza dei triangoli quindi posso scrivere la soluzione del problema.
Soluzione
Consideriamo i triangoli ABD e AEC; essi sono congruenti per il primo principio di congruenza dei triangoli infatti hanno:
\( \overline{AB}=\overline{AC} \)
\( \alpha = \alpha ' \)
\( \overline{BD}=\overline{EC} \)
Allora i due triangoli avranno anche uguali tutti gli altri elementi ed in particolare risulterà \( \overline{AD}=\overline{AE} \) che ci consente di affermare che il triangolo ADE è isoscele. C.V.D.



Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.