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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Teorema di Talete


Il teorema di Talete rappresenta uno dei teoremi fondamentali della geometria infatti è utilizzato per la dimostrazione di tantissimi altri teoremi. Diamone allora l'enunciato:

Un fascio di rette parallele determina su due trasversali, classi di segmenti direttamente proporzionali.

Per la dimostrzione di questo teorema ci rifacciamo al criterio di proporzionalità diretta e quindi dimostreremo che a due segmenti uguali su una trasversale corrispondono segmenti uguali sull'altra e che alla somma di due segmenti su una trasversale corrisponde, sull'altra trasversale, la somma dei due segmenti corrispondenti.

Consideriamo un fascio di rette parallele ed in particolare le quattro rette a, b, c, d del fascio e consideriamo due trasversali t e t'. Chiamiamo A ed A' i punti di intersezione tra le trasversali e la retta a, B e B' le intersezioni tra le trasversali e la retta b, C e C' le intersezioni con la retta c ed infine chiamiamo D e D' le intersezioni tra le trasversali e la retta d.

Dimostriamo per prima cosa che a segmenti uguali su una trasversale corrispondono segmenti uguali sull'altra cioè presi i segmenti \( \overline{AB}=\overline{CD} \) sulla trasversale t deve risultare \( \overline{A'B'}=\overline{C'D'} \) sulla trasversale t'.
Tracciamo le parallele a t' passanti per i punti A e C e chiamiamo B'' e D'' i punti in cui incontrano le rette b e d; consideriamo adesso i quadrilateri AB''B'A' e CD''D'C' e notiamo che sono dei parallelogrammi per costruzione e quindi avranno i lati opposti congruenti. Allora possiamo ricavare per il primo parallelogramma che \( \overline{A'B'}=\overline{AB''} \) mentre per il secondo parallelogramma si ha \( \overline{C'D'}=\overline{CD''} \). Considerando, allora, i triangoli ABB'' e CDD'', ci basterà dimostrare che sono due triangoli congruenti per ottenere che \( \overline{AB''}=\overline{CD''} \) e per la proprietà transitiva dell'uguaglianza \( \overline{A'B'}=\overline{C'D'} \). Ma per questi due triangoli risulta:
  • \(\overline{AB}=\overline{CD} \) per ipotesi;

  • \(\widehat{B''AB}=\overline{D''CD} \) perché angoli corrispondenti se considerate le parallele \( \vec{AB''} \textrm{ e } \vec{CD''} \) tagliate dalla trasversale t;

  • \(\widehat{ABB''}=\overline{CDD''} \) perché angoli corrispondenti se considerate le parallele b e d tagliate dalla trasversale t
I due triangoli sono quindi congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli avendo congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti. C.V.D.

Consideriamo le rette parallele a, b, c, d ed e, tagliate dalle trasversali t e t'; dimostriamo che se risulta \( \overline{AB}+\overline{BC}=\overline{DE} \) sulla trasversale t, sull'altra trasversale risulta \( \overline{A'B'}+\overline{B'C'}=\overline{D'E'} \). Traccio una nuova retta f del fascio di rette parallele (rossa in figura) in modo che risulti \( \overline{AB}=\overline{DF} \); di conseguenza risulta \( \overline{BC}=\overline{FE} \) perché differenze tra segmenti uguali. Per la prima parte della dimostrazione sappiamo che:

\( \overline{A'B'}=\overline{D'F'} \) su t' essendo \( \overline{AB}=\overline{DF} \) sulla trasversale t.
\( \overline{B'C'}=\overline{F'E'} \) su t' essendo \( \overline{BC}=\overline{FE} \) sulla trasversale t;

Da ciò otteniamo$$ \overline{D'E'}=\overline{D'F'}+\overline{F'E'}=\overline{A'B'}+\overline{B'C'}$$Quindi alla somma di due segmenti sulla trasversale t corrisponde la somma dei due segmenti corrispondenti su t'. C.V.D.

Teorema inverso di Talete

Se un insieme di rette determina su due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali, le rette dell'insieme sono parallele

Consideriamo tre retta a,b e c di cui a e b sono parallele tagliate dalle trasversali t e t', dimostriamo che se risulta $$AB:A'B'=BC:B'C'$$ allora anche la retta c è parallela alle altre due. Tracciamo la retta d passante per il punto C e parallela ad a ed indichiamo con C'' il punto di intersezione tra questa retta e la trasversale t'. Considerando il fascio di rette a, b e d tagliate dalle trasversali t e t', per il teorema di Talete si ha$$AB:A'B'=BC:B'C''$$Questa proporzione e quella che rappresenta l'ipotesi del teorema differiscono solo per il quarto proporzionale; un teorema però ci assicura che il termine quarto proporzionale dopo tre grandezze esiste ed è unico e quindi si ha \( \overline{B'C'}=\overline{B'C''} \) e quindi i punti C' e C'' coincidono. La retta d allora coincide con la retta c passando per gli stessi due punti. C.V.D.

Corollario al teorema di Talete

In ogni triangolo la parallela ad un lato divide gli altri due in segmenti proporzionali

Consideriamo il triangolo ABC e la retta parallela a \( \overline{BC} \) secante i lati \( \overline{AB} \) ed \( \overline{AC} \) nei punti D ed E; tracciamo la retta r, anch'essa parallela a \( \overline{BC} \) e passante per A. Otteniamo un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali e quindi per il teorema di Talete si ha$$AD:DB=AE:EC$$Cioè le parti in cui vengono divise i due lati sono proporzionali. C.V.D.

Teorema

In ogni triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati

Consideriamo il triangolo ABC e la bisettrice AD dell'angolo in A, dimostriamo che vale la proporzione $$BD:DC=AB:AC$$Tracciamo la parallela alla bisettrice passante per il vertice C e prolunghiamo il lato \( \overline{AB} \) dalla parte di A fino ad incontrare la retta precedente nel punto K.
Osserviamo il triangolo EBC; essendo il segmento \( \overline{AD} \) parallelo al lato \( \overline{EC} \) per costruzione, per il corollario al teorema di Talete si ha$$BD:DC=AB:AK$$Osserviamo adesso gli angoli \( \widehat{CAD} \) e \( \widehat{ACE} \), essi sono uguali perché alterni interni tra le parallele \( \overline{AD} \textrm{ e } \overline{EC} \) tagliate dalla trasversale \( \overline{AC} \);allo stesso modo si ha \( \widehat{BAD} = \widehat{CEA} \) perché corrispondenti tra le parallele \( \overline{AD} \textrm{ e } \overline{EC} \) tagliate dalla trasversale \( \overline{BE} \). Inoltre si ha \( \widehat{BAD} = \widehat{CAD} \) per la definizione di bisettrice e quindi sfruttando la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha $$\widehat{CEA}=\widehat{BAD} = \widehat{CAD}= \widehat{ACE}$$Quindi il triangolo EAC è isoscele e per esso si ha \( \overline{AE}=\overline{AC} \); sfruttiamo questa uguaglianza nella proporzione trovata prima ed otteniamo
\( BD:DC=AB:AC \) C.V.D.




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