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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Similitudine applicata alla circonferenza


Applichiamo le proprietà dei triangoli simili alla circonferenza ed ai suoi elementi e dimostriamo alcuni teoremi molto importanti per lo studio delle circonferenze.

Teorema delle corde

Due corde di una stessa circonferenza incontrandosi formano quattro parti per le quali risulta che le due parti di una corda sono medi mentre quelle dell'altra corda sono estremi di una stessa proporzione

teorema delle corde
Consideriamo le due corde \( \overline{AB} \textrm{ e } \overline{CD} \), come in figura, che si incontrano in un punto E e tracciamo i segmenti \( \overline{AC} \textrm{ e } \overline{BD} \); otteniamo due triangoli ACE ed DEB. Per essi risulta:
\( \widehat{CEA}= \widehat{DEB} \) perché opposti al vertice;
\( \widehat{ACE}= \widehat{ABD} \) perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AD.
I due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli e per loro vale la proporzione$$\overline{AE} : \overline{CE} = \overline{ED} : \overline{EB}$$Cioè i lati corrispondenti sono in proporzione; osserviamo che i medi della proporzione sono le due parti in cui viene tagliata la corda \( \overline{CD} \) mentre gli estremi sono le parti dell'altra corda. C.V.D.

Teorema delle due secanti

Data una circonferenza ed un punto P esterno ad essa, comunque considero due secanti dal punto P alla circonferenza, risulta che una secante e la sua parte esterna alla circonferenza sono medi mentre l'altra secante e la sua parte esterna sono estremi di una stessa proporzione

teorema delle secanti
Considero una circonferenza ed un punto P esterno ad essa come in figura; traccio due secanti alla circonferenza che partono da P. La prima secante incontra la circonferenza nei punti A e B mentre la seconda nei punti C e D; traccio i segmenti \( \overline{AD} \textrm{ e } \overline{BC} \) e considero i triangoli PAD e PBC. Per essi si ha:
\( \widehat{BPA} \) è comune ad entrambi i triangoli;
\( \widehat{PAD}= \widehat{BCP} \) perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco BD.
I due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine e per essi risulta$$\overline{PA} : \overline{PD} = \overline{PC} : \overline{PB}$$ Come Volevasi Dimostrare

Teorema della tangente e della secante

Data una circonferenza ed un punto P esterno ad essa, comunque considero una tangente ed una secante da P alla circonferenza si ha che la tangente è media proporzionale tra la secante e la sua parte esterna alla circonferenza

teorema della tangente e della secante
Consideriamo la circonferenza ed un punto P esterno ad essa, come in figura, e tracciamo da P la tangente che incontra la circonferenza nel punto A ed una secante che incontra la circonferenza in due punti B e C; uniamo adesso il punto A con i punti B e C. Consideriamo i due triangoli PAC e PAB; per essi si ha:
\( \widehat{BPA} \) è comune ad entrambi i triangoli;
\( \widehat{PAC}= \widehat{ABC} \) perché il primo è l'angolo tra una corda ed una tangente alla circonferenza ed il secondo un angolo alla circonferenza insistente sull'arco a cui è sottesa la corda stessa.
I due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine e per essi risulta$$\overline{PB} : \overline{PA} = \overline{PA} : \overline{PC}$$ Come Volevasi Dimostrare



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