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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Similitudine e proprietà


Diamo prima la definizione di trasformazione isometrica:

Le isometrie, sono particolari trasformazioni geometriche che conservano la distanza tra punti; cioè trasformano una figura geometrica in un'altra ad essa congruente ma che ha una posizione ed un orientamento diverso.

Tra le isometrie del piano si annoverano: le traslazioni, le rotazioni, le simmetrie centrali e le simmetrie assiali.

Supponiamo adesso di applicare ad una data figura geometrica due trasformazioni: una isometrica ed una omotetica. Il risultato sarà una figura geometrica che ha i lati proporzionali come dopo una omotetia ma perderemo il concetto di centro della trasformazione ed inoltre segmenti e rette saranno trasformati in segmenti e rette non per forza paralleli a quelli di partenza. Queste trasformazioni sono dette similitudini.

Si definisce similitudine la trasformazione geometrica del piano che si ottiene combinando, in modo non ordinato, una trasformazione isometrica ed una omotetia

Il rapporto dell'omotetia ora diventa rapporto di similitudine conservando, gli elementi geometrici trasformati, la loro proporzionalità con quelli di partenza.
Ricaviamo le proprietà di questa trasformazione dalle proprietà delle trasformazioni che la compongono; saranno proprietà della similitudine quelle di cui godono sia le isometrie che l'omotetia. Ricaviamo quindi che la similitudine ha le seguenti proprietà:
  • una retta è trasformata in una retta;
  • due rette parallele tra loro vengono trasformate in due rette parallele tra loro (ma non forzatamente parallele a quelle di partenza);
  • un angolo viene trasformato in un altro angolo ad esso congruente;
  • i lati corrispondenti mantengono un rapporto costante.
Due figure che si ottengono una dall'altra applicando una similitudine si dicono simili.


Descriviamo adesso come determinare la similitudine tra due figure geometriche.

Primo criterio di similitudine dei poligoni

Due poligoni sono simili se hanno tutti gli angoli congruenti eccetto uno e tutti i lati proporzionali eccetto due lati consecutivi

Secondo criterio di similitudine dei poligoni

Due poligoni sono simili se hanno tutti i lati meno uno proporzionali e tutti gli angoli compresi fra i lati in proporzione congruenti

Terzo criterio di similitudine dei poligoni

Due poligoni sono simili se hanno tutti i lati ordinatamente proporzionali e tutti gli angoli congruenti eccetto tre

Questi criteri sono raramente utilizzati perché si preferisce suddividere i polinomi in tanti triangoli ed applicare i criteri di similitudine tra triangoli; del resto gli stessi criteri di similitudine per i poligoni si ricavano a partire dai criteri per i triangoli. Prima di dimostrare questi ultimi notiamo una conseguenza dei criteri di similitudine tra poligoni.

Teorema

Due poligoni regolari, con egual numero di lati, sono simili

Per definizione di poligono regolare sappiamo che esso ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti ed inoltre il valore degli angoli dipende dal numero dei lati, essendo la somma degli angoli interni di un poligono pari ad (n-2)π cioè tanti angoli piatti quanti sono i lati meno due. Ciò garantisce che per poligoni regolari con lo stesso numero di lati, essi sono tutti congruenti ed inoltre il rapporto che c'è tra due di loro si conserva per tutti gli altri essendo uguali quelli di ogni poligono. C.V.D..



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