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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Sezione aurea di un segmento


Si definisce sezione aurea di un segmento la parte del segmento stesso che è media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente
sezione aurea di un segmento$$s:a=a:b$$
Il rapporto tra la sezione aurea di un segmento ed il segmento stesso viene detto rapporto aureo o numero d'oro, esso è un numero irrazionale e vale all'incirca 1,62 dove abbiamo approssimato alla seconda cifra decimale per eccesso. Nella storia questo rapporto è stato considerato molto importante visto il suo frequente ripresentarsi nelle proporzioni geometriche e naturali tanto da essere considerato una specie di legame tra l'umano ed il divino.

Determinazione algebrica del rapporto aureo

Supponiamo che a sia la misura di un segmento ed x sia la sua sezione aurea; deve allora risultare che x è medio proporzionale tra a e la parte restante del segmento (a-x).$$a:x=x=(a-x)$$Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni ed otteniamo$$x\cdot x=a\cdot(a-x) \\x^2=a^2-ax$$Porto tutto a primo membro e calcolo le soluzioni$$x^2+ax-a^2=0$$\( \Delta=a^2+4a^2=5a^2 \) quindi le soluzioni sono$$x_1=\frac{-a+\sqrt{\Delta}}{2} \ \ \ x_2=\frac{-a-\sqrt{\Delta}}{2} \\ x_1=a\cdot \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ \ \ x_2=a\cdot \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$la seconda soluzione è da scartare perché la frazione è un numero negativo e così anche l'intera soluzione ma essa deve rappresentare una lunghezza di un segmento e quindi deve essere positiva. Quindi la soluzione accettata per la sezione aurea è \( x=a\cdot \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \) dove la frazione rappresenta in numero d'oro (rapporto aureo). Infatti il rapporto tra la sezione aurea e l'intero segmento vale$$\frac{x}{a}=\frac{a\cdot \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}{a}=a\cdot \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{a}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=1,61803...$$

Vediamo adesso come è possibile costruire geometricamente la sezione aurea di un segmento.

Costruzione geometrica della sezione aurea

costruzione della sezione aurea di un segmento
Consideriamo una circonferenza ed una retta ad essa tangente in un punto P; stacchiamo su questa retta un punto A tale che il segmento \( \overline{PA} \) abbia lunghezza pari al diametro della circonferenza. Da questo punto A portiamo la secante alla circonferenza passante per il suo centro; essa tocca la circonferenza nei punti B e C. Tracciamo adesso la circonferenza di centro A e raggio \( \overline{AB} \) essa individua sulla tangente il punto D; il segmento \( \overline{AD} \) rappresenta la sezione aurea del segmento \( \overline{PA} \) cioè risulta$$\overline{AP} : \overline{AD} = \overline{AD} : \overline{PD}$$Dimostriamo la veridicità di questa affermazione.
Applichiamo per prima cosa il teorema della tangente e della secante ed otteniamo che la tangente \( \overline{PA} \) è media proporzionale tra la secante \( \overline{AC} \) e la sua parte esterna alla circonferenza( \( \overline{AB} \) ), cioè$$\overline{AC} : \overline{AP} = \overline{AP} : \overline{AB}$$applichiamo la proprietà dello scomporre$$(\overline{AC} - \overline{AP}) : \overline{AP} = (\overline{AP} - \overline{AB}) : \overline{AB}$$ Ricordiamo adesso che la tangente è per costruzione di lunghezza uguale al diametro della circonferenza e che la corda \( \overline{BC} \) passa per il centro della circonferenza e ne è quindi un diametro; riscriviamo allora la differenza \( (\overline{AC} - \overline{AP}) \) $$ (\overline{AC} - \overline{AP})= (\overline{AC} - \overline{BC})= \overline{AB}$$ma per individuare il punto D abbiamo tracciato un arco di circonferenza di centro A e raggio \( \overline{AB} \) quindi si ha \( (\overline{AB} = \overline{AD} \) perché raggi di una stessa circonferenza.
Sostituendo queste uguaglianze nella proporzione precedente otteniamo$$(\overline{AC} - \overline{AP}) : \overline{AP} = (\overline{AP} - \overline{AB}) : \overline{AB} \\ \overline{AD} : \overline{AP} = (\overline{AP} - \overline{AD}) : \overline{AD} \\ \overline{AD} : \overline{AP} = \overline{PD}) : \overline{AD}$$ Applicando la proprietà dell'invertire otteniamo$$\overline{AP} : \overline{AD} = \overline{AD} : \overline{PD})$$Come Volevasi Dimostrare



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