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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Ortogonalità e parallelismo

Perpendicolarità tra rette

Due rette si dicono perpendicolari quando incontrandosi danno luogo a quattro angoli uguali che chiamiamo retti
definiamo quindi l'angolo retto come segue
un angolo retto è una dei quattro angoli formati da due rette perpendicolari incidenti

Teorema dell'esistenza ed unicità della perpendicolare

Data una retta ed un punto, esiste ed è unica la retta passante per il punto e perpendicolare alla retta data.

Proiezioni di un segmento su una retta

Consideriamo un segmento \( \overline{AB} \) ed una retta r; se un estremo di \( \overline{AB} \) non si trova su r tracciamo anche la retta s passante per A e parallela ad r. A questo punto tracciamo il segmento di perpendicolare che va dal punto B fino alla retta s e prolunghiamolo fino a che incontri anche la retta r; indichiamo con H ed H' i punti di incontro tra il segmento e le rette s ed r. Tracciamo infine un altro segmento di perpendicolare che parta dall'estremo A del segmento fino alla retta r; questo individua su r il punto A'. Si definisce proiezione ortogonale del segmento \( \overline{AB} \) sulla retta r il segmento \( \overline{A'H'} \) di r ( uguale al segmento \( \overline{AH} \) su s ) che ha per estremi i punti di incontro tra la retta r ed i segmenti ad essa ortogonali e passanti per gli estremi A e B del segmento di partenza.
La lunghezza di questa proiezione dipende sia dalla lunghezza del segmento \( \overline{AB} \), sia dall'angolo che questo segmento forma con la retta s e quindi con la retta r. Notiamo dalla figura che i segmenti \( \overline{AB} , \overline{AH}, \overline{BH} \) formano un triangolo rettangolo e quindi maggiore sarà l'angolo in B del triangolo maggiore sarà il suo lato opposto cioè la proiezione ortogonale. Si nota inoltre che minore è l'angolo in A e maggiore sarà la proiezione (dipende dalla somma degli angoli interni del triangolo come vedremo in una lezione successiva ) ed in particolare quando l'angolo in A vale zero il segmento e la retta sono paralleli e la proiezione è massima e vale proprio quanto il segmento; mentre quando l'angolo in A è retto si ha che la perpendicolare ad r passante per B coincide con quella passante per A ( infatti il segmento è ortogonale alla retta ) ed il segmento \( \overline{AH} \) si riduce ad un punto. Ad esempio tracciamo una nuova retta, t, e tracciamo la perpendicolare ad essa passante per B e chiamiamo H'' il punto di incontro tra la retta e questa perpendicolare. Notiamo che l'angolo \( \widehat{ABH''} \) è maggiore dell'angolo\( \widehat{ABH} \) e che la proiezione ortogonale di \( \overline{AB} \) rispetto a t è maggiore di quella rispetto a r. Considerando segmenti di lunghezza diversa possiamo dire che:

-segmenti uguali hanno proiezioni uguali a parità di angoli formati con le rette.

-A parità di angoli, a segmento maggiore corrisponde proiezione maggiore.



Dalla definizione di perpendicolare ricaviamo anche la definizione di altezza di una figura geometrica:
Si definisce altezza rispetto ad una base il segmento che va dal vertice opposto alla base fino alla base stessa ed è ad essa perpendicolare

Parallelismo tra rette

Due rette si dicono parallele se non hanno nessun punto in comune cioè non si incontrano mai

Rette tagliate da una trasversale

Le rette r ed s tagliate dalla trasversale t formano 8 angoli che abbiamo nominato con i numeri crescenti dall'uno all'otto come in figura; essi acquistano nomi diversi alla loro posizione di coppia:
- le coppie 3-5 e 4-6 sono dette "angoli alterni interni";
- le coppie 1-7 e 2-8 sono dette "angoli alterni esterni";
- le coppie 4-5 e 3-6 sono dette "angoli coniugati interni";
- le coppie 1-8 e 2-7 sono dette "angoli coniugati esterni";
- le coppie 1-5 , 2-6 , 3-7 e 4-8 sono dette "angoli corrispondenti";


Vediamo adesso un teorema che caratterizza le rette parallele :

Criterio fondamentale del parallelismo

Due rette tagliate da una trasversale che formano angoli alterni interni uguali sono parallele e viceversa due rette parallele formano angoli alterni interni uguali se tagliate da una trasversale
Dimostriamo che se due rette tagliate da una trasversale formano due angoli alterni interni uguali ( \( \alpha=\alpha ' \) in figura ) esse sono parallele. Supponiamo per assurdo che r ed s non siano parallele e che quindi si incontrano in un punto che chiamiamo C; ABC è dunque un triangolo e per esso α rappresenta l'angolo esterno relativo al vertice A mentre α' è l'angolo interno relativo al vertice B. Per il teorema dell'angolo esterno deve quindi risultare \( \alpha > \alpha ' \) ma questo è un assurdo perché contraddice le ipotesi del teorema. C.V.D.


Dimostriamo adesso che due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni uguali.
Supponiamo per assurdo che le rette r ed s tagliate dalla trasversale t formino due angoli diversi per cui risulta \( \alpha ' > \alpha \); allora possiamo prendere l'angolo α'' uguale ad α' che ha per lati la trasversale t e la retta v come in figura. Per la dimostrazione precedente sappiamo che s e v sono due rette parallele ma per il quinto postulato di Euclide esiste una sola retta parallela ad s passante per A; quindi si hanno due possibilità:o r e v coincidono oppure r ed s non sono parallele perché lo sono s e v. La prima possibilità non è verificata perché per costruzione r e v sono diverse e la seconda porta palesemente ad un assurdo contraddicendo l'ipotesi del teorema per la quale r ed s sono parallele. C.V.D.

Si dimostra allo stesso modo la forma generale del criterio fondamentale del parallelismo che afferma:due rette tagliate da una trasversale che formano angoli alterni interni uguali, oppure angoli alterni esterni uguali, oppure angoli corrispondenti uguali, oppure angoli coniugati interni o esterni supplementari, sono parallele e viceversa.

Da questo teorema ricaviamo un'altra proprietà importante per i triangoli che riguarda i suoi angoli interni come vediamo nella prossima lezione.


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