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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Proporzionalità tra grandezze


Date due grandezze omogenee A e B ed il loro rapporto \( r=\frac{A}{B} \) diremo che due grandezze C e D, omogenee tra loro, sono in proporzione con le prime due se hanno lo stesso rapporto cioè risulta \( \frac{C}{D}=r=\frac{A}{B} \); in questo caso diremo che le quattro grandezze formano una proporzione e la scriveremo$$A:B=C:D$$ In questa proporzione, le grandezze A, B, C e D sono detti termini della proporzione e più in particolare:
A e C sono detti antecedenti;
B e D sono detti conseguenti;
A e D sono detti estremi;
B e C sono detti medi;
la grandezza D che chiude la proporzione viene detta quarta proporzionale.

Nel caso in cui le grandezze B e C fossero omogenee ed uguali si avrebbe$$A:B=B:D$$e diremmo che la grandezza B è media proporzionale tra le grandezze A e D; quindi quando leggeremo che una grandezza M è media proporzionale tra altre due sappiamo che possiamo scrivere una proporzione dove M prende il posto di entrambi i medi.
N.B. la proporzione si basa sull'uguaglianza tra due rapporti e quindi i suoi termini possono essere considerati termini dell'equazione frazionaria$$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$$Da questa osservazione discendono molte proprietà delle proporzioni, ricordando che in alcuni casi è necessario che le quattro grandezze siano tutte omogenee tra loro:

1) proprietà fondamentale delle proporzioni: Per ogni proporzione si ha che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi..
Ragionando con l'equazione questa proprietà la otteniamo moltiplicando entrambi i membri per il prodotto dei denominatori

2) proprietà dell'invertire: è possibile invertire ogni antecedente con il proprio conseguente senza invalidare la proporzione.
Ragionando con l'equazione questo scambio equivale a capovolgere entrambe i membri dell'equazione stessa (possiamo sempre farlo a patto che i termini che andranno al denominatore non siano nulli)

3) proprietà del permutare: è possibile scambiare tra loro i medi o gli estremi senza invalidare la proporzione.
Dal punto di vista dell'equazione si traduce nel moltiplicare entrambi i membri per un medio e dividere per l'altro; l'opposto per gli estremi. vediamo un esempio; consideriamo la proporzione \(A:B=C:D \), essa equivale all'equazione $$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$$dividiamo per l'estremo A e moltiplichiamo per l'estremo D entrambi i membri dell'equazione ottenendo$$\frac{D}{A}\cdot \frac{A}{B}=\frac{D}{A}\cdot \frac{C}{D} \\ \frac{D}{B}=\frac{C}{A}$$che equivale alla proporzione \( D:B=C:A \)

4) proprietà del comporre: la proporzione è ancora valida se sostituiamo ogni antecedente con la somma tra esso ed il rispettivo conseguente e sostituiamo ad ogni conseguente il proprio antecedente$$A:B=C:D \rightarrow (A+B):A=(C+D):C$$.
Si può ottenere questa proprietà attraverso l'equazione capovolgendo entrambi i membri e poi sommando a destra e sinistra l'unità.

5) proprietà dello scomporre: la proporzione è ancora valida se sostituiamo ogni antecedente con la differenza tra esso ed il rispettivo conseguente e sostituiamo ad ogni conseguente il proprio antecedente$$A:B=C:D \rightarrow (A-B):A=(C-D):C$$.
Per ottenere la proprietà tramite l'equazione basta capovolgere i due membri, cambiare il segno ad entrambi e poi aggiungere l'unità a destra e sinistra$$\frac{A}{B}=\frac{C}{D} \\ -\frac{B}{A}+1=-\frac{D}{C}+1$$calcolando le somme si ha$$\frac{A-B}{A}=\frac{C-D}{C}$$che equivale alla proporzione \( (A-B):A=(C-D):C \).

Teorema

Date tre grandezze A, B e C di cui A e B sono omogenee tra loro, esiste una unica grandezza D, omogenea con C che sia quarta proporzionale delle prime tre cioè tale da avere$$A:B=C:D$$

Ricordiamo il postulato della continuità:data una grandezza A ed un numero reale r esiste ed è unica la grandezza B tale che \( B=r\cdot A \) e cioè il rapporto B su A valga r
Indichiamo allora con r il rapporto tra le grandezze B e A ( \( r=\frac{B}{A} \) ), per il postulato appena enunciato esiste ed è unica la grandezza D omogenea a C e tele che \( D=r\cdot C \rightarrow r=\frac{D}{C} \). Poiché i due rapporti sono uguali si ha$$\frac{B}{A}=\frac{D}{C}$$che equivale alla proporzione \( B:A=D:C \) ma per la proprietà dell'invertire ottengo \( A:B=C:D \) C.V.D.

Proporzionalità diretta

Date due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca diremo che esse sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due grandezze qualsiasi della prima classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti della seconda classe.

Quando abbiamo introdotto il concetto di circonferenza abbiamo anche parlato di archi ed angoli al centro di una circonferenza ed avevamo già parlato della proporzionalità tra queste due classi di grandezze; in particolare detti A e B due archi ed α e β gli angoli ad essi corrispondenti risulta $$\frac{A}{B}=\frac{\alpha}{\beta}$$ che equivale alla proporzione\( A:B=\alpha : \beta \). Notiamo che in questo caso le due classi di grandezze non sono omogenee e quindi possiamo applicare solo la proprietà dell'invertire mentre le altre ci sono precluse.

Nel caso le 4 grandezze siano tra loro omogenee possiamo applicare la proprietà del permutare ed ottenere che siano uguagliati i rapporti tra grandezze corrispondenti.

esempio

Consideriamo le due classi di grandezze formate dalle lunghezze dei lati di un quadrato e dalle lunghezze del perimetro dei quadrati corrispondenti. Siano A e B due grandezze della prima classe ed A' e B' le grandezze corrispondenti della seconda. Ricordando che per definizione il perimetro di un quadrato è lungo 4 volte il lato, scriviamo il rapporto tra A' e B' ottenendo$$\frac{A'}{B'}=\frac{4A}{4B}=\frac{A}{B}$$e dalla proprietà transitiva ricaviamo che il rapporto tra le grandezze A e B è uguale a quello tra le grandezze A' e B' quindi le due classi sono direttamente proporzionali. Poiché le due classi sono omogenee applichiamo la permutazione dei medi ottenendo $$A:A'=B:B'$$quindi è costante il rapporto tra elementi corrispondenti delle due classi; questo rapporto si chiama costante di proporzionalità diretta. Nel nostro esempio essa vale \( \frac{A}{A'}=\frac{1}{4} \) che esprime il fatto che ogni lato è lungo un quarto del corrispondente perimetro.

La definizione di grandezze direttamente proporzionali, purtroppo, non rappresenta una strada percorribile per determinare che due classi di grandezze siano direttamente proporzionali; infatti è spesso impossibile poter confrontare i rapporti di tutte le coppie di grandezze della prima classe con quelli tra le grandezze corrispondenti della seconda. Abbiamo bisogno di un criterio generale che ci permetta di valutare questa proporzionalità:

Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezze siano direttamente proporzionali è che a grandezze uguali di una classe corrispondano grandezze uguali dell'altra ed inoltre alla somma di due grandezze di una classe corrisponda la somma delle due grandezze corrispondenti dell'altra.

Proporzionalità inversa

Date due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca diremo che esse sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due grandezze qualsiasi della prima classe è uguale all'inverso del rapporto tra le grandezze corrispondenti della seconda classe.

esempio

Consideriamo il rettangolo ABCD di base \( \overline{BC} \); supponiamo di dividere la base in due e di tracciare per il punto M ottenuto la parallela all'altezza in modo da scomporre il rettangolo di partenza in due più piccoli. Adesso spostiamo i due rettangoli ottenuti uno sull'altro ottenendo così un nuovo rettangolo (A'B'C'D') equivalente a quello di partenza (perché equiscomponibile) ma con altezza doppia e base dimezzata. Dividendo la base in tre parti, e quindi il rettangolo in tre più piccoli, e ponendo questi ultimi uno sull'altro si ottiene un nuovo rettangolo (A''B''C''D''), anch'esso equivalente a quello di partenza, ma con la base ridotta ad un terzo e l'altezza triplicata. Si può dividere in questo modo la base in segmenti tutti uguali sempre più piccoli in modo da poter costruire sempre rettangoli equivalenti a quello di partenza. Consideriamo allora le classi di grandezze costituite una (A,B,C,...) dalle basi ottenute scomponendo la base del rettangolo di partenza e l'altra (A',B',C',...) composta dalle rispettive altezze. Esse rappresentano due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca e per loro si ha che il rapporto che intercorre tra due basi è proprio l'inverso del rapporto che intercorre tra le altezze corrispondenti (infatti quando la base si dimezza ( \( \frac{A}{B} =2 \) ) la rispettiva altezza si raddoppia ( \( \frac{A'}{B'}=\frac{1}{2} \) ); quindi possiamo scrivere che per ogni coppia di grandezze A, B della prima classe ed A', B' della seconda si ha$$\frac{A}{B} =\frac{B'}{A'}$$ che equivale alla proporzione \( A:B=B':A' \). Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni ed otteniamo \( B\cdot B'=A\cdot A' \); è quindi costante il prodotto tra le grandezze corrispondenti delle due classi inversamente proporzionali. Questa costante è chiamata costante di proporzionalità inversa.

Ricapitolando diremo che: per due classi di grandezza direttamente proporzionali è costante il rapporto tra le grandezze corrispondenti alle due classi mentre, per due classi in proporzionalità inversa, è costante il prodotto tra le grandezze corrispondenti.



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