Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Proprietà dei triangoli simili


I criteri di similitudine dei triangoli uniti alle proprietà delle proporzioni ci permettono di dimostrare alcuni teoremi sui triangoli che sono molto utili per la risoluzione di molti problemi geometrici.

Teorema

Dati due triangoli simili le basi stanno tra loro come le loro altezze cioè dette b e b' le basi dei triangoli ed h e h' le due altezze vale la proporzione$$b:b'=h:h'$$

triangoli simili
Consideriamo i due triangoli simili ABC e DEF e le altezze \( \overline{AH} \textrm{ e } \overline{DK} \) dimostriamo che risulta$$\overline{BC} : \overline{EF} = \overline{AH} : \overline{DK}$$Consideriamo i triangoli ABH e DEK ed osserviamo che essi hanno:
\( \widehat{BHA}=\widehat{EKD} \) perché entrambi retti per la definizione di altezza;
\( \widehat{ABH}=\widehat{DEK} \) perché angoli corrispondenti dei triangoli simili ABC e DEF;
uguali anche i terzi angoli perché è costante la somma degli angoli interni di un triangolo.
Quindi i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli ed in particolare si ha$$\overline{AB} : \overline{DE} = \overline{AH} : \overline{DK}$$Dalla similitudine tre i triangoli di partenza avevamo$$\overline{AB} : \overline{DE} = \overline{BC} : \overline{EF}$$queste due relazioni hanno uguali i primi membri quindi avranno congruenti anche i secondi, cioè$$\overline{BC} : \overline{EF} = \overline{AH} : \overline{DK}$$Cioè le basi stanno tra loro come le altezze. C.V.D.

Teorema

Dati due triangoli simili i loro perimetri stanno tra loro come due lati corrispondenti

triangoli simili
Consideriamo i due triangoli simili ABC e DEF per essi vale la proporzione$$\overline{AB} : \overline{BC} = \overline{DE} : \overline{EF}$$ Applichiamo la proprietà del comporre e successivamente la proprietà del permutare scambiando tra loro i medi$$(\overline{AB}+ \overline{BC}):\overline{AB} = (\overline{DE} + \overline{EF}) : \overline{DE} \\ (\overline{AB}+ \overline{BC}) : (\overline{DE} + \overline{EF}) =\overline{AB} : \overline{DE}$$Ora notiamo che dalla similitudine possiamo ricavare anche la proporzione $$\overline{AB} : \overline{DE} = \overline{AC} : \overline{DF}$$ed applicando questa uguaglianza a quella precedente otteniamo$$(\overline{AB}+ \overline{BC}) : (\overline{DE} + \overline{EF}) = \overline{AC} : \overline{DF}$$Adesso scambiamo nuovamente i medi poi applichiamo la proprietà dell'invertire e quella del comporre ottenendo$$(\overline{AB}+ \overline{BC}) : \overline{AC} = (\overline{DE} + \overline{EF}) : \overline{DF} \\ \overline{AC} : (\overline{AB}+ \overline{BC}) = \overline{DF} : (\overline{DE} + \overline{EF}) \\ (\overline{AC} + \overline{AB}+ \overline{BC}) : \overline{AC} = (\overline{DF} + \overline{DE} + \overline{EF}) : \overline{DF}$$ Detto p il semiperimetro del triangolo ABC e p' il semiperimetro di DEF otteniamo$$2p : \overline{AC} = 2p' : \overline{DF}$$ e scambiando i medi un'ultima volta$$2p : 2p'= \overline{AC} : \overline{DF}$$Cioè i due perimetri stanno tra loro come due lati corrispondenti. C.V.D.


Vale anche il teorema che non dimostriamo:

Dati due triangoli simili le loro aree stanno tra loro come i quadrati di due lati corrispondenti

Da queste applicazioni ai triangoli si ottengono anche i relativi teoremi riferiti ai poligoni di cui diamo solo l'enunciato:

Teorema

Dati due poligoni simili i loro perimetri stanno tra loro come due lati corrispondenti


Teorema

Dati due poligoni simili le loro aree stanno tra loro come i quadrati di due lati corrispondenti


Osserviamo adesso la applicazione di questi criteri nell'enunciato e nella dimostrazione dei teoremi di Euclide che già avevamo effettuato utilizzando il concetto di figure equivalenti.

Primo teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa

triangolo rettangolo
Consideriamo il triangolo ABC rettangolo in A e con altezza \( \overline{AH} \) relativa all'ipotenusa; notiamo che i triangoli ABC ed AHC sono simili perché hanno:
\( \widehat{HCA} \) in comune;
\( \widehat{AHC}=\widehat{CAB} \) perché entrambi retti essendo \( \overline{AH} \) altezza;
per forza anche i terzi angoli congruenti.
Dalla similitudine otteniamo che il rapporto tra ipotenusa e cateto del triangolo ABC è uguale al rapporto tra ipotenusa e cateto corrispondente dell'altro triangolo cioè$$\overline{BC} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{HC}$$Quindi il cateto \( \overline{AC} \) è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa. C.V.D.

N.B. Per individuare i cateti corrispondenti si ricorre agli angoli perché essi restano congruenti e quindi sono corrispondenti due lati che sono opposti ai due angoli uguali; infatti le ipotenuse sono entrambe opposte all'angolo retto.

Secondo teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stessa

triangolo rettangolo
Consideriamo i due triangoli rettangoli ABH ed AHC in cui è diviso il triangolo rettangolo ABC dall'altezza relativa \( \overline{AH} \) relativa all'ipotenusa; i due triangoli hanno:
\( \widehat{BHA}=\widehat{AHC} \) perché entrambi retti;
\( \widehat{HAB}=\widehat{HCA} \) perché entrambi complementari dell'angolo \( \widehat{CAH} \);
forzatamente uguali i terzi angoli perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre un angolo piatto.
I due triangoli sono allora simili e quindi il rapporto \( \frac{\overline{BH}}{\overline{AH}} \) per il triangolo ABH è uguale al rapporto \( \frac{\overline{AH}}{\overline{HC}} \) per il triangolo AHC. Cioè$$\overline{BH} : \overline{AH}=\overline{AH} : \overline{HC}$$Ancora una volta bisogna prestare attenzione agli angoli per scegliere correttamente i lati corrispondenti. C.V.D.



Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.